Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ và có chiều...

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD.$ Khi đó $HI={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},BH={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$
Và $HI$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $BCD.$ Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r=HI={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}.$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $AH\mathrm{\perp }\left(BCD\right),$ suy ra $AH$ là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có
$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\iff A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=4^2-{\left({\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{32}{3}}\iff AH={\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}}.$
Vậy chiều cao của hình trụ là $h=AH={\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}}.$ Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là $l={\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}}.$ Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl=2\pi .{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{3}}\pi .$