Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều $ABCD.$
A. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{3}\pi .$
B. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{2}\pi .$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\pi .$
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD.$ Khi đó $HI=\dfrac{2\sqrt{3}}{3},BH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$
Và $HI$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $BCD.$ Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r=HI=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $AH\bot \left( BCD \right),$ suy ra $AH$ là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có
$A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}={{4}^{2}}-{{\left( \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{32}{3}\Leftrightarrow AH=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$
Vậy chiều cao của hình trụ là $h=AH=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$ Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là $l=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$ Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi rl=2\pi .\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4\sqrt{6}}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$
A. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{3}\pi .$
B. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{2}\pi .$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\pi .$
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD.$ Khi đó $HI=\dfrac{2\sqrt{3}}{3},BH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác đều $BCD$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$
Và $HI$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $BCD.$ Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r=HI=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $AH\bot \left( BCD \right),$ suy ra $AH$ là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có
$A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}={{4}^{2}}-{{\left( \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{32}{3}\Leftrightarrow AH=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$
Vậy chiều cao của hình trụ là $h=AH=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$ Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là $l=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$ Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi rl=2\pi .\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4\sqrt{6}}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$
Đáp án D.