Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Lấy $N,M$ là trung điểm của $AB$ và $AC.$ Tính khoảng cách $d$ giữa $CN$ và $DM.$

Gọi $P$ là trung điểm của $AN\Rightarrow MP//CN,MP\subset \left( DMP \right)\Rightarrow CN//\left( DMP \right)$
$\Rightarrow d\left( CN,DM \right)=d\left( CN,\left( DMP \right) \right)=d\left( N,\left( DMP \right) \right)=d\left( A,\left( DMP \right) \right).$
Ta có $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{A.DMP}}}{{{V}_{A.DBC}}}=\dfrac{AP}{AB}.\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{A.DMP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{A.DBC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}.$
Tam giác $ACD$ đều cạnh $a,$ có $M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a,$ có $N$ là trung điểm của $AB\Rightarrow CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Tam giác $ADP,$ có $AP=\dfrac{a}{4},AD=a,\widehat{PAD}={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow DP=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{P}^{2}}-2.AD.AP.\cos \widehat{PAD}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.$
Đặt $p=\dfrac{DM+DP+MP}{2}=\dfrac{a\left( \sqrt{13}+3\sqrt{3} \right)}{8}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta DMP}}=\sqrt{p\left( p-DM \right)\left( p-DP \right)\left( p-MP \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{35}}{32}$
Lại có ${{V}_{A.DMP}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta DMP}}.d\left( A,\left( DMP \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( DMP \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.DMP}}}{{{V}_{\Delta DMP}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{35}}{32}}=\dfrac{a\sqrt{70}}{35}.$
Vậy $d\left( CN,DM \right)=\dfrac{a\sqrt{70}}{35}.$