Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a .$ Lấy $N, M$ là trung điểm của $A B$ và $A C .$ Tính khoảng cách $d$ giữa $C N$ và $D M .$

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho tứ diện đều

A B C D

cạnh

a .

Lấy

N, M

là trung điểm của

A B

và

A C .

Tính khoảng cách

d

giữa

C N

và

D M .

A.

d = a \sqrt{\frac{3}{2}} .

B.

d = \frac{a \sqrt{10}}{10} .

C.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

D.

d = \frac{a \sqrt{70}}{35} .

Gọi

P

là trung điểm của

A N \Rightarrow M P / / C N, M P \subset (D M P) \Rightarrow C N / / (D M P)

\Rightarrow d (C N, D M) = d (C N, (D M P)) = d (N, (D M P)) = d (A, (D M P)) .

Ta có

A B C D

là tứ diện đều cạnh

a \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Ta có

\frac{V_{A . D M P}}{V_{A . D B C}} = \frac{A P}{A B} . \frac{A M}{A C} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{A . D M P} = \frac{1}{8} V_{A . D B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{96} .

Tam giác

A C D

đều cạnh

a,

có

M

là trung điểm của

A C \Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Tam giác

A B C

đều cạnh

a,

có

N

là trung điểm của

A B \Rightarrow C N = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M P = \frac{1}{2} C N = \frac{a \sqrt{3}}{4} .

Tam giác

A D P,

có

A P = \frac{a}{4}, A D = a, \hat{P A D} = 60^{0} .

\Rightarrow D P = \sqrt{A D^{2} + A P^{2} - 2. A D . A P . \cos \hat{P A D}} = \frac{a \sqrt{13}}{4} .

Đặt

p = \frac{D M + D P + M P}{2} = \frac{a (\sqrt{13} + 3 \sqrt{3})}{8} .

\Rightarrow S_{Δ D M P} = \sqrt{p (p - D M) (p - D P) (p - M P)} = \frac{a^{2} \sqrt{35}}{32}

Lại có

V_{A . D M P} = \frac{1}{3} S_{Δ D M P} . d (A, (D M P)) \Rightarrow d (A, (D M P)) = \frac{3 V_{A . D M P}}{V_{Δ D M P}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{96}}{\frac{a^{2} \sqrt{35}}{32}} = \frac{a \sqrt{70}}{35} .

Vậy

d (C N, D M) = \frac{a \sqrt{70}}{35} .

Đáp án D.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N,M là trung điểm của AB và AC. Tính khoảng cách d giữa CN và DM.