Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=AD=BC=BD=1$, mặt phẳng $\left( ABC \right)\bot (ABD)$ và $\left( ACD \right)\bot (BCD)$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt...

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB.$
$\Delta ACD$ cân tại $A$ nên $AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=AH$
Đặt $AH=x.$
$HD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
$\Delta BCD=\Delta ACD\Rightarrow HB=HA=x$ (hai đường cao tương ứng bằng nhau).
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.$
Mặt khác, ta lại có:
$\Delta ABD$ cân tại $D$ nên $DK\bot AB\Rightarrow AH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DK\bot CK\Rightarrow \Delta KCD$ là tam giác vuông tại $K.$
Suy ra $HK=\dfrac{1}{2}CD\Leftrightarrow HK=HD=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( BCD \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$