Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2a,AC=3a,AD=4a,\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}={{60}^{0}}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
C. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
Trên các cạnh $AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $AE=AF=2a\Rightarrow ABEF$ là tứ diện đều cạnh $2a.$
Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta BEF\Rightarrow BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABEF}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{BEF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
Vì $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{ABEF}}}=\dfrac{AB}{AB}.\dfrac{AC}{AE}.\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{3}{2}.A=3\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
A. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
C. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
Trên các cạnh $AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $AE=AF=2a\Rightarrow ABEF$ là tứ diện đều cạnh $2a.$
Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta BEF\Rightarrow BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABEF}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{BEF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
Vì $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{ABEF}}}=\dfrac{AB}{AB}.\dfrac{AC}{AE}.\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{3}{2}.A=3\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
Đáp án D.