Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương...

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>0 \\
& 5x-1>0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.2.{{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}m={{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( mx \right)={{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)$
$\Leftrightarrow mx=5x-1$
$\Leftrightarrow \left( m-5 \right)x+1=0$
Xét $m=5,$ phương trình vô nghiệm nên loại $m=5.$
Xét $m\ne 5,$ phương trình có nghiệm $x=\dfrac{-1}{m-5}.$
Dựa vào điều kiện ta được $\dfrac{-1}{m-5}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{m-5}-\dfrac{1}{5}>0\Leftrightarrow \dfrac{-m}{m-5}>0\Leftrightarrow 0<m<5.$
Khi đó $m\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}.$