Google
Câu hỏi: Cho $n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=1023.$ Tìm hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left[ \left( 12-n \right)x+1 \right]}^{n}}$ thành đa thức.
A. 45.
B. 180.
C. 2.
D. 90.
A. 45.
B. 180.
C. 2.
D. 90.
Từ khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{n}{{x}^{n}}.$
Cho $x=1$ ta được ${{\left( 1+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{2}=1+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$
Mà $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=1023$ nên ${{2}^{n}}=1024\Leftrightarrow n=10.$
Bài toán trở thành tìm hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ thành đa thức.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ là $C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}$
Từ yêu cầu bài toàn suy ra $k=2.$
Vậy hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ thành đa thức là $C_{10}^{2}{{2}^{2}}=180.$
Cho $x=1$ ta được ${{\left( 1+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{2}=1+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$
Mà $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=1023$ nên ${{2}^{n}}=1024\Leftrightarrow n=10.$
Bài toán trở thành tìm hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ thành đa thức.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ là $C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}$
Từ yêu cầu bài toàn suy ra $k=2.$
Vậy hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left( 2x+1 \right)}^{10}}$ thành đa thức là $C_{10}^{2}{{2}^{2}}=180.$
Đáp án B.