Google
Câu hỏi: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết $L=\dfrac{1}{\pi }(H),C=\dfrac{{{2.10}^{-4}}}{\pi }(F),{{u}_{AB}}=200\cos 100\pi t(V).R$ phải có giá trị bằng bao nhiêu để công suất tỏa nhiệt trên R là lớn nhất? Tính công suất lớn nhất đó?
A. $50\Omega ;100W$
B. $100\Omega ;100W$
C. $100\Omega ;200W$
D. $50\Omega :200W$
A. $50\Omega ;100W$
B. $100\Omega ;100W$
C. $100\Omega ;200W$
D. $50\Omega :200W$
Phương pháp:
Công suất tỏa nhiệt trên $\text{R}:{{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}\cdot R}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khảo sát PR, theo R.
Áp dụng BĐT Cosi.
Cách giải:
Dung kháng và cảm kháng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\omega L=100\pi \cdot \dfrac{1}{\pi }=100\Omega \\
{{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{100\pi \cdot \dfrac{2\cdot {{10}^{-4}}}{\pi }}=50\Omega \\
\end{array} \right.$
Điện áp hiệu dụng: $U=\dfrac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}~\text{V}$
Công suất tỏa nhiệt trên $\text{R}:{{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}$
Để ${{P}_{R\max }}\Leftrightarrow {{\left[ R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R} \right]}_{\min }}$
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
$R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\ge 2\cdot \sqrt{R\cdot \dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}=2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow {{\left( R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R} \right)}_{\min }}=2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
$\Rightarrow {{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{(100\sqrt{2})}^{2}}}{2\cdot |100-50|}=200~\text{W}$
Dấu "=" xảy ra khi: $R=\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\Rightarrow R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=|100-50|=50\Omega $
Công suất tỏa nhiệt trên $\text{R}:{{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}\cdot R}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khảo sát PR, theo R.
Áp dụng BĐT Cosi.
Cách giải:
Dung kháng và cảm kháng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\omega L=100\pi \cdot \dfrac{1}{\pi }=100\Omega \\
{{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{100\pi \cdot \dfrac{2\cdot {{10}^{-4}}}{\pi }}=50\Omega \\
\end{array} \right.$
Điện áp hiệu dụng: $U=\dfrac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}~\text{V}$
Công suất tỏa nhiệt trên $\text{R}:{{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}$
Để ${{P}_{R\max }}\Leftrightarrow {{\left[ R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R} \right]}_{\min }}$
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
$R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\ge 2\cdot \sqrt{R\cdot \dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}=2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow {{\left( R+\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R} \right)}_{\min }}=2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
$\Rightarrow {{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\cdot \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{(100\sqrt{2})}^{2}}}{2\cdot |100-50|}=200~\text{W}$
Dấu "=" xảy ra khi: $R=\dfrac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\Rightarrow R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=|100-50|=50\Omega $
Đáp án D.