Google
Câu hỏi: Cho $\log _{2} 5=a, \log _{5} 3=b$, biết $\log _{24} 15=\dfrac{m a+a b}{n+a b}$, với m, n thuộc $\mathbb{Z}$. Tỉnh $S=m^{2}+n^{2}$.
A. $S=2$.
B. $S=10$.
C. $S=5$.
D. $S=13$.
A. $S=2$.
B. $S=10$.
C. $S=5$.
D. $S=13$.
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức logarit :
$\begin{aligned}
& +{{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b \\
& +{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a} \\
& +{{\log }_{c}}(ab)={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b \\
\end{aligned}$
Giải chi tiết:
Ta có: ${{\log }_{3}}2={{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3}=\dfrac{1}{ab};{{\log }_{5}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5}=\dfrac{1}{a}$
Do đó: $\log _{24} 15=\log _{24} 3+\log _{24} 5=\dfrac{1}{\log _{3} 24}+\dfrac{1}{\log _{5} 24}=\dfrac{1}{1+\log _{3} 8}+\dfrac{1}{\log _{5} 3+\log _{5} 8}$
$=\dfrac{1}{1+3 \log _{3} 2}+\dfrac{1}{\log _{5} 3+3 \log _{5} 2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{a b}}+\dfrac{1}{b+\dfrac{3}{a}}=\dfrac{a b+a}{a b+3}$
$\Rightarrow m=1, n=3 \Rightarrow S=10$
Áp dụng các công thức logarit :
$\begin{aligned}
& +{{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b \\
& +{{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a} \\
& +{{\log }_{c}}(ab)={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b \\
\end{aligned}$
Giải chi tiết:
Ta có: ${{\log }_{3}}2={{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3}=\dfrac{1}{ab};{{\log }_{5}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5}=\dfrac{1}{a}$
Do đó: $\log _{24} 15=\log _{24} 3+\log _{24} 5=\dfrac{1}{\log _{3} 24}+\dfrac{1}{\log _{5} 24}=\dfrac{1}{1+\log _{3} 8}+\dfrac{1}{\log _{5} 3+\log _{5} 8}$
$=\dfrac{1}{1+3 \log _{3} 2}+\dfrac{1}{\log _{5} 3+3 \log _{5} 2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{a b}}+\dfrac{1}{b+\dfrac{3}{a}}=\dfrac{a b+a}{a b+3}$
$\Rightarrow m=1, n=3 \Rightarrow S=10$
Đáp án B.