Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a.$ Trên các tia $AA',BB',CC'$ lần lượt lấy ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ cách mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ một khoảng lần lượt là $\dfrac{a}{2},a,\dfrac{3a}{2}.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right).$
A. ${{60}^{0}}.$
B. ${{90}^{0}}.$
C. ${{45}^{0}}.$
D. ${{30}^{0}}.$
Từ ${{B}_{1}}$ dựng mặt phẳng song song với $\left( ABC \right)$ cắt $AA'$ và $CC'$ tại ${{A}_{2}},{{C}_{2}}.$
Ta có ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=B{{B}_{1}}-A{{A}_{1}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow {{A}_{1}}{{B}_{1}}=\sqrt{{{A}_{1}}A_{2}^{2}+{{A}_{2}}{{B}_{1}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},$ tương tự ${{B}_{1}}{{C}_{1}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},{{A}_{1}}{{C}_{1}}=a\sqrt{2}.$ Vậy tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ cân tại ${{B}_{1}}.$
Khi đó đường cao ứng với đỉnh ${{B}_{1}}$ của tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ là $\sqrt{{{B}_{1}}C_{1}^{2}-\dfrac{{{A}_{1}}C_{1}^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${{S}_{\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4},$ mặt khác tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right).$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right).$
Ta có $\cos \varphi =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi ={{45}^{0}}.$
A. ${{60}^{0}}.$
B. ${{90}^{0}}.$
C. ${{45}^{0}}.$
D. ${{30}^{0}}.$
Từ ${{B}_{1}}$ dựng mặt phẳng song song với $\left( ABC \right)$ cắt $AA'$ và $CC'$ tại ${{A}_{2}},{{C}_{2}}.$
Ta có ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=B{{B}_{1}}-A{{A}_{1}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow {{A}_{1}}{{B}_{1}}=\sqrt{{{A}_{1}}A_{2}^{2}+{{A}_{2}}{{B}_{1}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},$ tương tự ${{B}_{1}}{{C}_{1}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},{{A}_{1}}{{C}_{1}}=a\sqrt{2}.$ Vậy tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ cân tại ${{B}_{1}}.$
Khi đó đường cao ứng với đỉnh ${{B}_{1}}$ của tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ là $\sqrt{{{B}_{1}}C_{1}^{2}-\dfrac{{{A}_{1}}C_{1}^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${{S}_{\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4},$ mặt khác tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right).$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right).$
Ta có $\cos \varphi =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi ={{45}^{0}}.$
Đáp án C.