Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a.$ Trên các tia $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ lần lượt lấy $A_1,B_1,C_1$ cách mặt...

Từ $B_1$ dựng mặt phẳng song song với $\left(ABC\right)$ cắt $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ tại $A_2,C_2.$
Ta có $A_1{A}_2=B{B}_1-A{A}_1={\displaystyle \frac{a}{2}}\Rightarrow A_1{B}_1=\sqrt{A_1{A}_2^2+A_2{B}_1}=\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}},$ tương tự $B_1{C}_1={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}},A_1{C}_1=a\sqrt{2}.$ Vậy tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ cân tại $B_1.$
Khi đó đường cao ứng với đỉnh $B_1$ của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ là $\sqrt{B_1{C}_1^2-{\displaystyle \frac{A_1{C}_1^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$
$S_{\mathrm{\Delta }{A}_1{B}_1{C}_1}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{6}}{4}};S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}},$ mặt khác tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right).$
Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A_1{B}_1{C}_1\right).$
Ta có $\cos \phi ={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{S_{A_1{B}_1{C}_1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \phi ={45}^0.$