Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a, M$ là trung điểm cạnh $C{C}'$ biết hai mặt phẳng $\left( MAB \right), \left( M{A}'{B}' \right)$ tạo với nhau một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $D, {D}'$ lần lượt là trung điểm của $AB, {A}'{B}'$.
Vì $AB\bot CC; AB\bot CM$ $($ do $\Delta ABC$ đều $)$ $\Rightarrow AB\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Mà ${A}'{B}'\parallel AB\Rightarrow {A}'{B}'\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Suy ra $\left( MAB \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right), \left( M{A}'{B}' \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Ta có $\left( MAB \right)\cap \left( CD{D}'{C}' \right)=MD, \left( M{A}'{B}' \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right)=M{D}'$.
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( MAB \right),\left( M{A}'{B}' \right)} \right)=\left( \widehat{MD, M{D}'} \right)=\widehat{DM{D}'}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{{C}'M{D}'}=\dfrac{180{}^\circ -60{}^\circ }{2}=60{}^\circ $ $\tan \widehat{CMD}=\dfrac{CD}{CM}\Rightarrow CM=\dfrac{CD}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow C{C}'=a$.
Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=Bh=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\times a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Vì $AB\bot CC; AB\bot CM$ $($ do $\Delta ABC$ đều $)$ $\Rightarrow AB\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Mà ${A}'{B}'\parallel AB\Rightarrow {A}'{B}'\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Suy ra $\left( MAB \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right), \left( M{A}'{B}' \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right)$.
Ta có $\left( MAB \right)\cap \left( CD{D}'{C}' \right)=MD, \left( M{A}'{B}' \right)\bot \left( CD{D}'{C}' \right)=M{D}'$.
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( MAB \right),\left( M{A}'{B}' \right)} \right)=\left( \widehat{MD, M{D}'} \right)=\widehat{DM{D}'}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{{C}'M{D}'}=\dfrac{180{}^\circ -60{}^\circ }{2}=60{}^\circ $ $\tan \widehat{CMD}=\dfrac{CD}{CM}\Rightarrow CM=\dfrac{CD}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow C{C}'=a$.
Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=Bh=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\times a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.