Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $BC=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Biết diện tích tam giác ${A}'BC$ bằng $2{{a}^{2}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $V=3{{a}^{3}}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $V=3{{a}^{3}}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp giải:
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AM\bot BC\left( M\in BC \right)$, xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao $A{A}'$.
- Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta {A}'BC$, sử dụng công thức ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\cos \angle \left( \left( {A}'BC \right);\left( ABC \right) \right)$.
- Tính thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AM\bot BC\left( M\in BC \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AM \\
BC\bot A{A}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'M \right) $ $ \Rightarrow {A}'M\bot BC$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
{A}'M\subset \left( {A}'BC \right);{A}'M\bot BC \\
AM\subset \left( ABC \right);AM\bot BC \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( {A}'BC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( {A}'M;AM \right)=\angle {A}'MA={{60}^{0}}$
Ta có ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{1}{2}{A}'M.BC=2{{a}^{3}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{A}'M.2a=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow {A}'M=2a$.
Xét tam giác vuông $A{A}'M$ ta có: $A{A}'={A}'M.\sin {{60}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta {A}'BC$ nên ta có: ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\cos \angle {A}'MA=2{{a}^{2}}.\dfrac{1}{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AM\bot BC\left( M\in BC \right)$, xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao $A{A}'$.
- Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta {A}'BC$, sử dụng công thức ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\cos \angle \left( \left( {A}'BC \right);\left( ABC \right) \right)$.
- Tính thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AM\bot BC\left( M\in BC \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AM \\
BC\bot A{A}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'M \right) $ $ \Rightarrow {A}'M\bot BC$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
{A}'M\subset \left( {A}'BC \right);{A}'M\bot BC \\
AM\subset \left( ABC \right);AM\bot BC \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( {A}'BC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( {A}'M;AM \right)=\angle {A}'MA={{60}^{0}}$
Ta có ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{1}{2}{A}'M.BC=2{{a}^{3}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{A}'M.2a=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow {A}'M=2a$.
Xét tam giác vuông $A{A}'M$ ta có: $A{A}'={A}'M.\sin {{60}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta {A}'BC$ nên ta có: ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\cos \angle {A}'MA=2{{a}^{2}}.\dfrac{1}{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án C.