Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh $BC=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }BC\right)$ bằng ${60}^0$...

Phương pháp giải:
- Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $AM\mathrm{\perp }BC(M\in BC)$, xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao $A{A}^{\prime }$.
- Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }BC$, sử dụng công thức $S_{ABC}=S_{A^{\prime }BC}.\cos \mathrm{\angle }(\left(A^{\prime }BC\right);\left(ABC\right))$.
- Tính thể tích khối lăng trụ $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{A}^{\prime }.S_{\mathrm{\Delta }ABC}$.
Giải chi tiết:

Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $AM\mathrm{\perp }BC(M\in BC)$ ta có: $\{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }AM\\ BC\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(A{A}^{\prime }M\right)$ $\Rightarrow A^{\prime }M\mathrm{\perp }BC$
Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(A^{\prime }BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ A^{\prime }M\subset \left(A^{\prime }BC\right);A^{\prime }M\mathrm{\perp }BC\\ AM\subset \left(ABC\right);AM\mathrm{\perp }BC\end{array}$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(A^{\prime }BC\right);\left(ABC\right))=\mathrm{\angle }(A^{\prime }M;AM)=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }MA={60}^0$
Ta có $S_{A^{\prime }BC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }M.BC=2a^3$ $\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }M.2a=2a^2\iff A^{\prime }M=2a$.
Xét tam giác vuông $A{A}^{\prime }M$ ta có: $A{A}^{\prime }=A^{\prime }M.\sin {60}^0=2a.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{3}$.
Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }BC$ nên ta có: $S_{ABC}=S_{A^{\prime }BC}.\cos \mathrm{\angle }{A}^{\prime }MA=2a^2.{\displaystyle \frac{1}{2}}=a^2$.
Vậy $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{A}^{\prime }.S_{ABC}=a\sqrt{3}.a^2=a^3\sqrt{3}$.