Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm $BC.$...

Gọi $M,M^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }.$
Gọi $N,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,BN.$
Góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ và $\left(ABC\right).$
Vì $CN\mathrm{\perp }AB$ và $ME//CN$ nên $ME\mathrm{\perp }AB\left(1\right)$
Mặt khác $A^{\prime }M\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow A^{\prime }M\mathrm{\perp }AB\left(2\right)$
Từ (1) và (2) ta có $AB\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }EM\right)\Rightarrow \widehat{(\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right);\left(ABC\right))}=\widehat{A^{\prime }EM}={60}^0.$
$CN=AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}};ME={\displaystyle \frac{1}{2}}CN={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}.$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }EM$ có $A^{\prime }M=ME.\tan {60}^0={\displaystyle \frac{3a}{4}}.$
Có $A^{\prime }{M}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\left(3\right)$
$A^{\prime }M\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow A^{\prime }M\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\Rightarrow A^{\prime }M\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\left(4\right)$
Từ (3) và (4) suy ra $B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }\right).$
Trong mặt phẳng $\left(AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ từ $M^{\prime }$ kẻ $M^{\prime }K\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }\Rightarrow M^{\prime }K$ chính là đoạn vuông góc chung giữa $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }.$
Trong mặt phẳng $\left(AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ từ $M$ kẻ $MI\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }\Rightarrow MI=M^{\prime }K.$
Trong tam giác $A^{\prime }MA$ vuông tại $M$ có ${\displaystyle \frac{1}{M{I}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{M}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{MA{{}^{\prime }}^2}}={\displaystyle \frac{28}{9a^2}}\Rightarrow MI={\displaystyle \frac{3a\sqrt{7}}{14}}.$
Vậy $d={\displaystyle \frac{3a\sqrt{7}}{14}}.$