Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm $BC.$...

Gọi $M,M'$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C'.$
Gọi $N,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,BN.$
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( A'B'C' \right)$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( ABC \right).$
Vì $CN\bot AB$ và $ME//CN$ nên $ME\bot AB\left( 1 \right)$
Mặt khác $A'M\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A'M\bot AB\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có $AB\bot \left( A'EM \right)\Rightarrow \widehat{\left( \left( ABB'A' \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'EM}={{60}^{0}}.$
$CN=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};ME=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong tam giác vuông $A'EM$ có $A'M=ME.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a}{4}.$
Có $A'M'\bot B'C'\left( 3 \right)$
$A'M\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A'M\bot \left( A'B'C' \right)\Rightarrow A'M\bot B'C'\left( 4 \right)$
Từ (3) và (4) suy ra $B'C'\bot \left( AMM'A' \right).$
Trong mặt phẳng $\left( AMM'A' \right)$ từ $M'$ kẻ $M'K\bot AA'\Rightarrow M'K$ chính là đoạn vuông góc chung giữa $AA'$ và $B'C'.$
Trong mặt phẳng $\left( AMM'A' \right)$ từ $M$ kẻ $MI\bot AA'\Rightarrow MI=M'K.$
Trong tam giác $A'MA$ vuông tại $M$ có $\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{MA{{'}^{2}}}=\dfrac{28}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow MI=\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}.$
Vậy $d=\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}.$