Cho khối tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và thể tích bằng $\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}.$ Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy?

Gọi $M,G$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và trọng tâm $\Delta ABC.$
Do $S.ABC$ là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC.$
Suy ra $SG\bot \left( ABC \right).$
Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là $\widehat{SAG}.$
Ta có: $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Theo đề bài: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.SG.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}\Leftrightarrow SG=a.$
Trong $\Delta SAG$ vuông tại $G$ ta có: $\tan \widehat{SAG}=\dfrac{SG}{AG}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SAG}={{60}^{0}}.$