Cho khối tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và thể tích bằng ${\displaystyle \frac{a^3}{4\sqrt{3}}}.$ Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy?

Gọi $M,G$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC.$
Do $S.ABC$ là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của $S$ lên $\left(ABC\right)$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC.$
Suy ra $SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right).$
Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là $\widehat{SAG}.$
Ta có: $AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}};AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}};S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}.$
Theo đề bài: $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{a^3}{4\sqrt{3}}}\iff {\displaystyle \frac{1}{3}}.SG.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a^3}{4\sqrt{3}}}\iff {\displaystyle \frac{1}{3}}.SG.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{a^3}{4\sqrt{3}}}\iff SG=a.$
Trong $\mathrm{\Delta }SAG$ vuông tại $G$ ta có: $\tan \widehat{SAG}={\displaystyle \frac{SG}{AG}}={\displaystyle \frac{a}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SAG}={60}^0.$