Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có diện tích bằng $3\sqrt{2}{{a}^{2}}$, $M$ là trung điểm của $BC$, $AM$ vuông góc với $BD$ tại $H$, $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $a$. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là
A. $V=2{{a}^{3}}$.
B. $V=3{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Đặt $AD=x,AB=y.$
H là trọng tâm tam giác ABC nên $d\left( D,\left( SAC \right) \right)=3d\left( H,\left( SAC \right) \right)=3HK\Rightarrow HK=\dfrac{a}{3}$
Kẻ $HI\bot AC$ tại I
$AM=\sqrt{{{y}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{y}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}.$
$BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow DH=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=A{{D}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{6};y=a\sqrt{3}.$
$HI=\dfrac{1}{3}d\left( D,AC \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3};\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Rightarrow HS=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
$V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
A. $V=2{{a}^{3}}$.
B. $V=3{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Đặt $AD=x,AB=y.$
H là trọng tâm tam giác ABC nên $d\left( D,\left( SAC \right) \right)=3d\left( H,\left( SAC \right) \right)=3HK\Rightarrow HK=\dfrac{a}{3}$
Kẻ $HI\bot AC$ tại I
$AM=\sqrt{{{y}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{y}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}.$
$BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow DH=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=A{{D}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{6};y=a\sqrt{3}.$
$HI=\dfrac{1}{3}d\left( D,AC \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3};\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Rightarrow HS=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
$V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án C.