Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh $SA=a\sqrt{3}$, hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (tham khảo hình bên).
Tính thể tích V của khối hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AB=AC=a$ và $\widehat{A}={{60}^{0}}$
Diện tích $\Delta ABC$ là $S=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow $ Chiều cao của hình chóp là $h=SA=a\sqrt{3}$
Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Tính thể tích V của khối hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AB=AC=a$ và $\widehat{A}={{60}^{0}}$
Diện tích $\Delta ABC$ là $S=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow $ Chiều cao của hình chóp là $h=SA=a\sqrt{3}$
Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Đáp án B.