Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $SO$.Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $AB$ bằng $a$ và $\widehat{S A O}=30^{\circ}, \widehat{S A B}=60^{\circ}$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng?
A. $2\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
B. $\pi a^{2} \sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\pi a^{2} \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2 \pi a^{2} \sqrt{3}}{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& AO=SA.\cos \widehat{SAO}=SA.\cos {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SA \\
& AI=SA.\cos \widehat{SAI}=SA.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{1}{2}SA \\
\end{aligned} \right.$
Nên: $\cos \widehat{IAO}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{IAO}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{a}{OA}$
$\Leftrightarrow OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Tam giác $SAO$ có:
$SA=\dfrac{OA}{\cos {{30}^{o}}}=a\sqrt{2}$
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi .OA.SA=\pi .\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{2}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
A. $2\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
B. $\pi a^{2} \sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\pi a^{2} \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2 \pi a^{2} \sqrt{3}}{3}$.
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& AO=SA.\cos \widehat{SAO}=SA.\cos {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SA \\
& AI=SA.\cos \widehat{SAI}=SA.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{1}{2}SA \\
\end{aligned} \right.$
Nên: $\cos \widehat{IAO}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{IAO}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{a}{OA}$
$\Leftrightarrow OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Tam giác $SAO$ có:
$SA=\dfrac{OA}{\cos {{30}^{o}}}=a\sqrt{2}$
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi .OA.SA=\pi .\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{2}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Đáp án B.