Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$, gọi I là trung điểm $B{B}'$. Mặt phẳng $\left( DI{C}' \right)$ chia khối lập phương thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn.
A. $\dfrac{7}{17}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{7}$
A. $\dfrac{7}{17}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{7}$
Phương pháp giải:
- Xác định thiết diện của thiết của hình lập phương khi cắt bởi $\left( DI{C}' \right)$.
- Phân chia khối đa diện chứa đỉnh C thành tổng hiểu của các khối đa diện có thể tính thể tích dễ dàng, so sánh thể tích của nó với thể tích khối lập phương. Từ đó suy ra tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn.
Giải chi tiết:
Trong $\left( BC{C}'{B}' \right)$ gọi $E=I{C}'\cap BC$, trong $\left( ABCD \right)$ gọi $M=ED\cap AB$.
Khi đó $\left( DI{C}' \right)$ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác $D{C}'IM$.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần khối đa diện bị chia bởi $\left( DI{C}' \right)$ chứa điểm C, khi đó ta có ${{V}_{1}}={{V}_{{C}'.ECD}}-{{V}_{I.EBM}}$.
Ta có: ${{V}_{{C}'.ECD}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.{{S}_{ECD}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.\dfrac{1}{2}EC.CD$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{MB}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow EC=2BC$.
Khi đó ta có: ${{V}_{{C}'.ECD}}=\dfrac{1}{6}C{C}'.2BC.CD=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
${{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{3}IB.{{S}_{EBM}}=\dfrac{1}{3}IB.\dfrac{1}{2}.EB.BM$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{IB}{C{C}'}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IB=\dfrac{1}{2}C{C}'$.
Khi đó ta có ${{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}C{C}'.BC.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
$\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{{C}'.ECD}}-{{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$
Vậy tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn là $\dfrac{7}{17}$.
- Xác định thiết diện của thiết của hình lập phương khi cắt bởi $\left( DI{C}' \right)$.
- Phân chia khối đa diện chứa đỉnh C thành tổng hiểu của các khối đa diện có thể tính thể tích dễ dàng, so sánh thể tích của nó với thể tích khối lập phương. Từ đó suy ra tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn.
Giải chi tiết:
Trong $\left( BC{C}'{B}' \right)$ gọi $E=I{C}'\cap BC$, trong $\left( ABCD \right)$ gọi $M=ED\cap AB$.
Khi đó $\left( DI{C}' \right)$ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác $D{C}'IM$.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần khối đa diện bị chia bởi $\left( DI{C}' \right)$ chứa điểm C, khi đó ta có ${{V}_{1}}={{V}_{{C}'.ECD}}-{{V}_{I.EBM}}$.
Ta có: ${{V}_{{C}'.ECD}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.{{S}_{ECD}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.\dfrac{1}{2}EC.CD$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{MB}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow EC=2BC$.
Khi đó ta có: ${{V}_{{C}'.ECD}}=\dfrac{1}{6}C{C}'.2BC.CD=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
${{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{3}IB.{{S}_{EBM}}=\dfrac{1}{3}IB.\dfrac{1}{2}.EB.BM$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{IB}{C{C}'}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IB=\dfrac{1}{2}C{C}'$.
Khi đó ta có ${{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}C{C}'.BC.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
$\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{{C}'.ECD}}-{{V}_{I.EBM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$
Vậy tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn là $\dfrac{7}{17}$.
Đáp án A.