Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a,$ góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
+ Ta có $AA'\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \widehat{A'C,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{\left( A'C,AC \right)}=\widehat{A'CA}={{45}^{0}}.$ Khi đó:
$\tan {{45}^{0}}=\dfrac{AA'}{AC}\Rightarrow AA'=AC.\tan {{45}^{0}}=a.$
+ ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
+ Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
+ Ta có $AA'\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \widehat{A'C,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{\left( A'C,AC \right)}=\widehat{A'CA}={{45}^{0}}.$ Khi đó:
$\tan {{45}^{0}}=\dfrac{AA'}{AC}\Rightarrow AA'=AC.\tan {{45}^{0}}=a.$
+ ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
+ Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
Đáp án B.