Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông và $AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M$ là trung điểm của $BC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$ bằng
A. $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Gọi $N$ là giao điểm của $B'B.$ Ta có $MN//B'C\Rightarrow \left( AMN \right)//B'C$
Do đó $d\left( AM,B'C \right)=d\left( B'C,\left( AMN \right) \right)=d\left( B',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d$
Xét tứ diện vuông $B.AMN$ có $\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}.$
Vậy $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
A. $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Gọi $N$ là giao điểm của $B'B.$ Ta có $MN//B'C\Rightarrow \left( AMN \right)//B'C$
Do đó $d\left( AM,B'C \right)=d\left( B'C,\left( AMN \right) \right)=d\left( B',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d$
Xét tứ diện vuông $B.AMN$ có $\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}.$
Vậy $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
Đáp án A.