Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $AA'=a\sqrt{2}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$ là
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
D. $a\sqrt{2}.$
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Khi đó $A'B//B'D.$
Suy ra: $d\left( A'B;B'C \right)=d\left( A'B;\left( B'CD \right) \right)=d\left( B;\left( B'CD \right) \right).$
Kẻ từ $B$ đường thẳng vuông góc với $CD$ và cắt $CD$ tại $K.$
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ (vì $BA=BC=BD)$ có $B$ là trung điểm của $AD$ nên $K$ là trung điểm của $CD.BK=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}a.$
Kẻ $BH\bot B'K$ tại $H,$ suy ra: $d\left( B;\left( B'CD \right) \right)=BH.$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Vậy $d\left( B;\left( B'CD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
D. $a\sqrt{2}.$
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Khi đó $A'B//B'D.$
Suy ra: $d\left( A'B;B'C \right)=d\left( A'B;\left( B'CD \right) \right)=d\left( B;\left( B'CD \right) \right).$
Kẻ từ $B$ đường thẳng vuông góc với $CD$ và cắt $CD$ tại $K.$
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ (vì $BA=BC=BD)$ có $B$ là trung điểm của $AD$ nên $K$ là trung điểm của $CD.BK=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}a.$
Kẻ $BH\bot B'K$ tại $H,$ suy ra: $d\left( B;\left( B'CD \right) \right)=BH.$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Vậy $d\left( B;\left( B'CD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án C.