Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và...

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Khi đó $A^{\prime }B//B^{\prime }D.$
Suy ra: $d(A^{\prime }B;B^{\prime }C)=d(A^{\prime }B;\left(B^{\prime }CD\right))=d(B;\left(B^{\prime }CD\right)).$
Kẻ từ $B$ đường thẳng vuông góc với $CD$ và cắt $CD$ tại $K.$
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ (vì $BA=BC=BD)$ có $B$ là trung điểm của $AD$ nên $K$ là trung điểm của $CD.BK={\displaystyle \frac{1}{2}}AC={\displaystyle \frac{1}{2}}a.$
Kẻ $BH\mathrm{\perp }{B}^{\prime }K$ tại $H,$ suy ra: $d(B;\left(B^{\prime }CD\right))=BH.$
Ta có: ${\displaystyle \frac{1}{B{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{B{K}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{BB{{}^{\prime }}^2}}={\displaystyle \frac{4}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2a^2}}={\displaystyle \frac{9}{2a^2}}\Rightarrow BH={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}.$
Vậy $d(B;\left(B^{\prime }CD\right))={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}.$