Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AC=a,$ góc $BAC={{120}^{0}},AA'=a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$ và $CC'.$ Số đo góc...

Ta có $\Delta A'MC'$ vuông tại $M$ có $\widehat{A'C'M}={{30}^{0}}\Rightarrow A'M=\dfrac{1}{2}.A'C'=\dfrac{2}{2}$
$MC'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow B'C'=a\sqrt{3}.$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow \alpha =\left( \widehat{\left( AMN \right);\left( A'B'C' \right)} \right)$
Tam giác $A'MC'$ là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ nên $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{A'MC'}}}{{{S}_{AMN}}}$
Ta có ${{S}_{A'MC'}}=\dfrac{1}{2}.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{8}.$
$A{{N}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AN=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$A{{M}^{2}}=AA{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}=AA{{'}^{2}}+{{\left( \dfrac{A'C'}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
$M{{N}^{2}}=C'{{N}^{2}}+C'{{M}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow MN=a.$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN\Rightarrow AI\bot MN$
$AI=\sqrt{A{{N}^{2}}-I{{N}^{2}}}=a$
${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}.AI.MN=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Vậy số đo góc giữa mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$