Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=AC=a,$ góc $BAC={120}^0,A{A}^{\prime }=a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }.$ Số đo góc...

Ta có $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }M{C}^{\prime }$ vuông tại $M$ có $\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }M}={30}^0\Rightarrow A^{\prime }M={\displaystyle \frac{1}{2}}.A^{\prime }{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{2}}$
$M{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }=a\sqrt{3}.$
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(AMN\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow \alpha =\left(\widehat{\left(AMN\right);\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)}\right)$
Tam giác $A^{\prime }M{C}^{\prime }$ là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ nên $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{S_{A^{\prime }M{C}^{\prime }}}{S_{AMN}}}$
Ta có $S_{A^{\prime }M{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}.S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{4}}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}}.$
$A{N}^2=A{C}^2+C{N}^2=a^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{5a^2}{4}}\Rightarrow AN={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}.$
$A{M}^2=AA{{}^{\prime }}^2+A^{\prime }{M}^2=AA{{}^{\prime }}^2+{\left({\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{5a^2}{4}}\Rightarrow AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}$
$M{N}^2=C^{\prime }{N}^2+C^{\prime }{M}^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\right)}^2=a^2\Rightarrow MN=a.$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN\Rightarrow AI\mathrm{\perp }MN$
$AI=\sqrt{A{N}^2-I{N}^2}=a$
$S_{AMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}.AI.MN={\displaystyle \frac{a^2}{2}}\Rightarrow \cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$
Vậy số đo góc giữa mặt phẳng $\left(AMN\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng $\arccos {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}.$