Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\widehat{BAC}={120}^0$, $BC=A{A}^{\prime }=a$. Gọi M là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giứa hai...

Gọi $I$ là hình chiếu của A trên BC, ta có:
$\{\begin{array}{rl}& AI\mathrm{\perp }BC\\ & AI\mathrm{\perp }B{B}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AI\mathrm{\perp }\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow AI\mathrm{\perp }BM\left(1\right).$
Mặt khác, theo giả thiết: $A^{\prime }B\mathrm{\perp }BM\left(2\right).$
Từ (1) và (2) suy ra $BM\mathrm{\perp }\left(A{B}^{\prime }I\right)\Rightarrow BM\mathrm{\perp }{B}^{\prime }I.$
Gọi $E=B^{\prime }I\cap BM,$ ta có: $\widehat{IBE}=\widehat{B{B}^{\prime }I}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{BI{B}^{\prime }}).$
Khi đó $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }BI=\mathrm{\Delta }BCM(g.c.g)\Rightarrow BI=CM={\displaystyle \frac{a}{2}}\Rightarrow I$ là trung điểm cạnh $BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A.
Gọi $F$ là hình chiếu của E trên $A{B}^{\prime },$ ta có EF là đoạn vuông góc chung của $A{B}^{\prime }$ và $BM.$
Suy ra $d(BM,A{B}^{\prime })=EF.$
Ta có: $AI=BI.\cot {60}^0={\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}};B^{\prime }I=\sqrt{BB{{}^{\prime }}^2+B{I}^2}=\sqrt{a^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}=BM.$
$IE=BI.\sin \widehat{EBI}=BI.{\displaystyle \frac{CM}{BM}}={\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{10}}\Rightarrow B^{\prime }E=B^{\prime }I-IE={\displaystyle \frac{2a\sqrt{5}}{5}}.$
$A{B}^{\prime }=\sqrt{A{I}^2+B^{\prime }I{{}^{\prime }}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}.$
Mặt khác: $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }IA$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }FE$ nên ${\displaystyle \frac{B^{\prime }A}{B^{\prime }E}}={\displaystyle \frac{IA}{EF}}\iff EF={\displaystyle \frac{IA{B}^{\prime }E}{B^{\prime }A}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}.{\displaystyle \frac{2a\sqrt{5}}{5}}}{{\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{10}}.$
Vậy $d(BM,A{B}^{\prime })={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{10}}.$