Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AA'$, biết rằng $AB=2a;$ $BC=a\sqrt{7}$ và $\text{AA}'=6a$. Khoảng cách giữa $\text{A }\!\!'\!\!\text{ B}$ và $CM$ là:
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3}$.
C. $a\sqrt{13}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
Có $A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{C}^{2}}=7{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}\Leftrightarrow AC=a\sqrt{3}$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra $A'B//\left( MNC \right)$ nên $d\left( A'B,CM \right)=d\left( A'B,\left( CMN \right) \right)=d\left( B.\left( CMN \right) \right)$ $=d\left( A,\left( CMN \right) \right)=d.$
Xét tứ diện $AMNC$ có $AM,AN,AC$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{13}{9{{a}^{2}}}\Leftrightarrow d=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{13}}{3}$.
C. $a\sqrt{13}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
Có $A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{C}^{2}}=7{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}\Leftrightarrow AC=a\sqrt{3}$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra $A'B//\left( MNC \right)$ nên $d\left( A'B,CM \right)=d\left( A'B,\left( CMN \right) \right)=d\left( B.\left( CMN \right) \right)$ $=d\left( A,\left( CMN \right) \right)=d.$
Xét tứ diện $AMNC$ có $AM,AN,AC$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{13}{9{{a}^{2}}}\Leftrightarrow d=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}.$
Đáp án C.