Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ . Biết $A B = A A^{'} = a$ , $A C = 2 a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A C$ . Diện...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông tại

A

. Biết

A B = A A^{'} = a

,

A C = 2 a

. Gọi

M

là trung điểm của

A C

. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

M A^{'} B^{'} C^{'}

bằng
A.

5 π a^{2}

.
B.

3 π a^{2}

.
C.

4 π a^{2}

.
D.

2 π a^{2}

.

Gọi

I

là trung điểm của cạnh

B^{'} C^{'} .

Khi đó

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A^{'} B^{'} C^{'} .

Gọi

M^{'}

là trung điểm của cạnh

A^{'} C^{'} .

Khi đó

M M^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'}) .

Do

M A^{'} = M C^{'} = a \sqrt{2}

nên

Δ M A^{'} C^{'}

vuông tại

M,

do đó

M^{'}

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ M A^{'} C^{'}

nên

I M^{'}

là trục của đường tròn ngoại tiếp

Δ M A^{'} C^{'} .

Suy ra

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

M . A^{'} B^{'} C^{'}

.
Bán kính mặt cầu là

r = I B^{'} = \frac{B C}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .

Diện tích mặt cầu là

S = 4 π r^{2} = 5 π a^{2} .

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB=AA′=a, AC=2a. Gọi M là trung điểm của AC. Diện...