Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Biết $AB=A{A}'=a$, $AC=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $5\pi {{a}^{2}}$.
B. $3\pi {{a}^{2}}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$.
D. $2\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $B'C'.$ Khi đó $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta A'B'C'.$
Gọi $M'$ là trung điểm của cạnh $A'C'.$ Khi đó $MM'\bot \left( A'B'C' \right).$
Do $MA'=MC'=a\sqrt{2}$ nên $\Delta MA'C'$ vuông tại $M,$ do đó $M'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MA'C'$ nên $IM'$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MA'C'.$ Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M.A'B'C'$.
Bán kính mặt cầu là $r=IB'=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{r}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$
A. $5\pi {{a}^{2}}$.
B. $3\pi {{a}^{2}}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$.
D. $2\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $B'C'.$ Khi đó $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta A'B'C'.$
Gọi $M'$ là trung điểm của cạnh $A'C'.$ Khi đó $MM'\bot \left( A'B'C' \right).$
Do $MA'=MC'=a\sqrt{2}$ nên $\Delta MA'C'$ vuông tại $M,$ do đó $M'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MA'C'$ nên $IM'$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MA'C'.$ Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M.A'B'C'$.
Bán kính mặt cầu là $r=IB'=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{r}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án A.