Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích là $V$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $A{A}', AB, {B}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( MNP \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $B$ theo $V$.
A. $\dfrac{47V}{144}$.
B. $\dfrac{49V}{144}$.
C. $\dfrac{37V}{72}$.
D. $\dfrac{V}{3}$.
Ta dựng được thiết diện là ngũ giác $MNQPR.$
Đặt $d\left( B;\left( A'B'C' \right) \right)=h,A'B'=a,d\left( C;A'B' \right)=2b.$
Khi đó ta có thể tích lăng trụ $V=\dfrac{1}{2}.d\left( C';A'B' \right).A'B'.d\left[ B;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{1}{2}.2b.a.h=abh.$
Xét hình chóp $L.JPB'$ có:
$\dfrac{LN}{LJ}=\dfrac{LB}{LB'}=\dfrac{NB}{JB'}=\dfrac{1}{3}$ suy ra $d\left[ L;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{3}{2}d\left[ B;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{3}{2}h,JB'=\dfrac{3}{2}A'B'=\dfrac{3}{2}a,$ $d\left( P;A'B' \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C';A'B' \right)=b.$
Suy ra thể tích khối chóp $L.JPB'$ là ${{V}_{LJPB'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}h.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}a.b=\dfrac{3}{8}abh=\dfrac{3}{8}V.$
Mặt khác ta có: $\dfrac{{{V}_{L.NBQ}}}{{{V}_{L.JPB'}}}=\dfrac{LN}{LJ}.\dfrac{LB}{LB'}.\dfrac{LQ}{LP}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{LNBQ}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{LJPB'}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$
$\dfrac{{{V}_{J.RA'M}}}{{{V}_{LJPB'}}}=\dfrac{JM}{JL}.\dfrac{JA'}{JB'}.\dfrac{JR}{JP}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{L.NBQ}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{L.JPB'}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V.$
Suy ra thể tích khối đa diện ${{V}_{NQBB'PRA'}}={{V}_{LJPB'}}-{{V}_{L.NBQ}}-{{V}_{J.A'RM}}=\dfrac{3}{8}V-\dfrac{1}{72}V-\dfrac{1}{48}V=\dfrac{49}{144}V.$
A. $\dfrac{47V}{144}$.
B. $\dfrac{49V}{144}$.
C. $\dfrac{37V}{72}$.
D. $\dfrac{V}{3}$.
Ta dựng được thiết diện là ngũ giác $MNQPR.$
Đặt $d\left( B;\left( A'B'C' \right) \right)=h,A'B'=a,d\left( C;A'B' \right)=2b.$
Khi đó ta có thể tích lăng trụ $V=\dfrac{1}{2}.d\left( C';A'B' \right).A'B'.d\left[ B;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{1}{2}.2b.a.h=abh.$
Xét hình chóp $L.JPB'$ có:
$\dfrac{LN}{LJ}=\dfrac{LB}{LB'}=\dfrac{NB}{JB'}=\dfrac{1}{3}$ suy ra $d\left[ L;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{3}{2}d\left[ B;\left( A'B'C' \right) \right]=\dfrac{3}{2}h,JB'=\dfrac{3}{2}A'B'=\dfrac{3}{2}a,$ $d\left( P;A'B' \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C';A'B' \right)=b.$
Suy ra thể tích khối chóp $L.JPB'$ là ${{V}_{LJPB'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}h.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}a.b=\dfrac{3}{8}abh=\dfrac{3}{8}V.$
Mặt khác ta có: $\dfrac{{{V}_{L.NBQ}}}{{{V}_{L.JPB'}}}=\dfrac{LN}{LJ}.\dfrac{LB}{LB'}.\dfrac{LQ}{LP}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{LNBQ}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{LJPB'}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$
$\dfrac{{{V}_{J.RA'M}}}{{{V}_{LJPB'}}}=\dfrac{JM}{JL}.\dfrac{JA'}{JB'}.\dfrac{JR}{JP}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{L.NBQ}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{L.JPB'}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V.$
Suy ra thể tích khối đa diện ${{V}_{NQBB'PRA'}}={{V}_{LJPB'}}-{{V}_{L.NBQ}}-{{V}_{J.A'RM}}=\dfrac{3}{8}V-\dfrac{1}{72}V-\dfrac{1}{48}V=\dfrac{49}{144}V.$
Đáp án B.