Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích là $V$ . Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $A A^{'}, A B, B^{'} C^{'}$ . Mặt phẳng $\left( MNP...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có thể tích là

V

. Gọi

M, N, P

là trung điểm các cạnh

A A^{'}, A B, B^{'} C^{'}

. Mặt phẳng

(M N P)

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh

B

theo

V

.
A.

\frac{47 V}{144}

.
B.

\frac{49 V}{144}

.
C.

\frac{37 V}{72}

.
D.

\frac{V}{3}

.

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác

M N Q P R .

Đặt

d (B; (A^{'} B^{'} C^{'})) = h, A^{'} B^{'} = a, d (C; A^{'} B^{'}) = 2 b .

Khi đó ta có thể tích lăng trụ

V = \frac{1}{2} . d (C^{'}; A^{'} B^{'}) . A^{'} B^{'} . d [B; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{1}{2} .2 b . a . h = a b h .

Xét hình chóp

L . J P B^{'}

có:

\frac{L N}{L J} = \frac{L B}{L B^{'}} = \frac{N B}{J B^{'}} = \frac{1}{3}

suy ra

d [L; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{3}{2} d [B; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{3}{2} h, J B^{'} = \frac{3}{2} A^{'} B^{'} = \frac{3}{2} a,

d (P; A^{'} B^{'}) = \frac{1}{2} d (C^{'}; A^{'} B^{'}) = b .

Suy ra thể tích khối chóp

L . J P B^{'}

là

V_{L J P B^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{3}{2} h . \frac{1}{2} . \frac{3}{2} a . b = \frac{3}{8} a b h = \frac{3}{8} V .

Mặt khác ta có:

\frac{V_{L . N B Q}}{V_{L . J P B^{'}}} = \frac{L N}{L J} . \frac{L B}{L B^{'}} . \frac{L Q}{L P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{L N B Q} = \frac{1}{27} V_{L J P B^{'}} = \frac{1}{27} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{72} V

\frac{V_{J . R A^{'} M}}{V_{L J P B^{'}}} = \frac{J M}{J L} . \frac{J A^{'}}{J B^{'}} . \frac{J R}{J P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{18} \Rightarrow V_{L . N B Q} = \frac{1}{18} V_{L . J P B^{'}} = \frac{1}{18} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{48} V .

Suy ra thể tích khối đa diện

V_{N Q B B^{'} P R A^{'}} = V_{L J P B^{'}} - V_{L . N B Q} - V_{J . A^{'} R M} = \frac{3}{8} V - \frac{1}{72} V - \frac{1}{48} V = \frac{49}{144} V .

Đáp án B.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích là V. Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh AA′,AB,B′C′. Mặt phẳng $\left( MNP...