Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = 4 a; B C = 2 a; A A^{'} = 2 a$ . Tính sin của góc giữa đường thẳng $B D^{'}$ và mặt phẳng $\left(...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = 4 a; B C = 2 a; A A^{'} = 2 a

. Tính sin của góc giữa đường thẳng

B D^{'}

và mặt phẳng

(A^{'} C^{'} D)

.
A.

\frac{\sqrt{21}}{14}

.
B.

\frac{\sqrt{21}}{7}

.
C.

\frac{\sqrt{6}}{6}

.
D.

\frac{\sqrt{6}}{3}

Gọi

O = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}, I = B D^{'} \cap D O

ta có I là trọng tâm tam giác

A^{'} C^{'} D

Kẻ

D H ⊥ A^{'} C^{'}; D^{'} K ⊥ D H \Rightarrow D^{'} K ⊥ (D A^{'} C^{'})

Vậy góc

(B D^{'}, (D A^{'} C^{'})) = ∠ D^{'} I K

D^{'} I = \frac{1}{3} B D^{'} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a; \frac{1}{H D {^{'}}^{2}} = \frac{1}{A^{'} D {^{'}}^{2}} + \frac{1}{D^{'} C {^{'}}^{2}} \Rightarrow D^{'} H = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a

\frac{1}{D^{'} K^{2}} = \frac{1}{D^{'} D^{2}} + \frac{1}{D^{'} H^{2}} \Rightarrow D^{'} K = \frac{4}{3} a

\sin α = \frac{D^{'} K}{D^{'} I} = \frac{\sqrt{6}}{3} .

Đáp án D.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=4a;BC=2a;AA′=2a. Tính sin của góc giữa đường thẳng BD′ và mặt phẳng $\left(...