Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=4a; BC=2a; A{A}'=2a$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $B{D}'$ và mặt phẳng $\left( {A}'{C}'D \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Gọi $O=A'C'\cap B'D',I=BD'\cap DO$ ta có I là trọng tâm tam giác $A'C'D$
Kẻ $DH\bot A'C';D'K\bot DH\Rightarrow D'K\bot \left( DA'C' \right)$
Vậy góc $\left( BD',\left( DA'C' \right) \right)=\angle D'IK$
$D'I=\dfrac{1}{3}BD'=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a;\dfrac{1}{HD{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{D'C{{'}^{2}}}\Rightarrow D'H=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}a$
$\dfrac{1}{D'{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D'{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{D'{{H}^{2}}}\Rightarrow D'K=\dfrac{4}{3}a$
$\sin \alpha =\dfrac{D'K}{D'I}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Gọi $O=A'C'\cap B'D',I=BD'\cap DO$ ta có I là trọng tâm tam giác $A'C'D$
Kẻ $DH\bot A'C';D'K\bot DH\Rightarrow D'K\bot \left( DA'C' \right)$
Vậy góc $\left( BD',\left( DA'C' \right) \right)=\angle D'IK$
$D'I=\dfrac{1}{3}BD'=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a;\dfrac{1}{HD{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{D'C{{'}^{2}}}\Rightarrow D'H=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}a$
$\dfrac{1}{D'{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D'{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{D'{{H}^{2}}}\Rightarrow D'K=\dfrac{4}{3}a$
$\sin \alpha =\dfrac{D'K}{D'I}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án D.