Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA=x$ và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì $x$ nhận...

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD,$ do $SB=SC=SD$ nên $SH$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD,$ suy ra $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right).$
Do tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ là đường trung trực của đường thẳng $BD$ do đó $H\in AC.$
Đặt $\alpha =\widehat{ACD},0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow \widehat{BCD}=2\alpha ,$ suy ra $S_{ABCD}=2S_{BCD}=BC.CD.\sin \widehat{BCD}=\sin 2\alpha .$
Gọi $K$ là trung điểm của $CD\Rightarrow CD\mathrm{\perp }SK,$ mà $CD\mathrm{\perp }SH$ suy ra $CD\mathrm{\perp }HK.$
$HC={\displaystyle \frac{CK}{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2\cos \alpha }},SH=\sqrt{S{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4{\cos }^2\alpha }}}={\displaystyle \frac{\sqrt{4{\cos }^2\alpha -1}}{2\cos \alpha }}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{\sqrt{4\cos \alpha -1}}{2\cos \alpha }}.\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \alpha \sqrt{4{\cos }^2\alpha -1}$
Do đó $V={\displaystyle \frac{1}{6}}(2\sin \alpha )\sqrt{4{\cos }^2\alpha -1}\le {\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha -1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}.$
Dấu "=" xảy ra khi $2\sin \alpha =\sqrt{4{\cos }^2\alpha -1}\iff 4{\sin }^2\alpha =4{\cos }^2\alpha -1\iff {\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{5}{8}}$
$\iff \cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}}.$ Khi đó $HC={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}}},SH={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{5}}.$
Gọi $O=AC\cap BD,$ suy ra $AC=2OC=2CD.\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}.$
$AH=AC-HC={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}.$
Vậy $x=SA=\sqrt{S{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{9}{10}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}.$