Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằnga và mặt bên tạo với đáy một góc ${45}^0$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ là:

Phương pháp giải:
- Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và M là trung điểm của CD.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SO.S_{ABCD}$.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và M là trung điểm của CD.
Ta có $\{\begin{array}{l}\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD\\ SM\subset \left(SCD\right);SM\mathrm{\perp }CD\\ OM\subset \left(ABCD\right);OM\mathrm{\perp }CD\end{array}$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(SCD\right);\left(ABCD\right))=\mathrm{\angle }(SM;OM)=\mathrm{\angle }SMO={45}^0$
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SOM$ là tam giác vuông cân tại O.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OM={\displaystyle \frac{a}{2}}\Rightarrow SO=OM={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Vậy thể tích khối chóp là $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SO.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a}{2}}.a^2={\displaystyle \frac{a^3}{6}}$.