Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằnga và mặt bên tạo với đáy một góc ${{45}^{0}}$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ là:

Phương pháp giải:
- Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ và M là trung điểm của CD.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ và M là trung điểm của CD.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\
SM\subset \left( SCD \right);SM\bot CD \\
OM\subset \left( ABCD \right);OM\bot CD \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SM;OM \right)=\angle SMO={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SOM$ là tam giác vuông cân tại O.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OM=\dfrac{a}{2}\Rightarrow SO=OM=\dfrac{a}{2}$.
Vậy thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.