Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên hợp với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của C qua $D,$ $N$ là trung điểm của $SC.$ Mặt phẳng $\left( BMN \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:
A. $\dfrac{7}{3}$
B. $\dfrac{7}{5}$
C. $\dfrac{1}{7}$
D. $\dfrac{6}{5}$
A. $\dfrac{7}{3}$
B. $\dfrac{7}{5}$
C. $\dfrac{1}{7}$
D. $\dfrac{6}{5}$
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,\ \ N\in SB,\ \ P\in SC$ ta có: $\dfrac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}.$
Giải chi tiết:
Gọi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BM\cap AD=\left\{ P \right\} \\
MN\cap SD=\left\{ Q \right\} \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm $\Delta SMC.$
Gọi V là thể tích của khối chóp $S.ABCD.$
${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp $PDQ.BCN$ và ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp còn lại.
Khi đó: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{M.PDQ}}}{{{V}_{M.BCN}}}=\dfrac{MP}{MB}.\dfrac{MD}{MC}.\dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$
Lại có: ${{V}_{M.BCN}}={{V}_{M.PDQ}}+{{V}_{1}}$ $\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{M.BCN}}$
Mà: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{S}_{AMBC}}={{S}_{ABDC}} \\
d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{V}_{M..BCN}}={{V}_{N.MBC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{V}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{5}{12}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}V$ $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{7}{5}.$
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,\ \ N\in SB,\ \ P\in SC$ ta có: $\dfrac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}.$
Giải chi tiết:
Gọi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BM\cap AD=\left\{ P \right\} \\
MN\cap SD=\left\{ Q \right\} \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm $\Delta SMC.$
Gọi V là thể tích của khối chóp $S.ABCD.$
${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp $PDQ.BCN$ và ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp còn lại.
Khi đó: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{M.PDQ}}}{{{V}_{M.BCN}}}=\dfrac{MP}{MB}.\dfrac{MD}{MC}.\dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$
Lại có: ${{V}_{M.BCN}}={{V}_{M.PDQ}}+{{V}_{1}}$ $\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{M.BCN}}$
Mà: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{S}_{AMBC}}={{S}_{ABDC}} \\
d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{V}_{M..BCN}}={{V}_{N.MBC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{V}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{5}{12}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}V$ $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{7}{5}.$
Đáp án B.