Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên hợp với đáy một góc ${60}^0.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của C qua $D,$ $N$...

Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,N\in SB,P\in SC$ ta có: ${\displaystyle \frac{V_{SMNP}}{V_{SABC}}}={\displaystyle \frac{SM}{SA}}.{\displaystyle \frac{SN}{SB}}.{\displaystyle \frac{SP}{SC}}.$
Giải chi tiết:

Gọi $\{\begin{array}{l}BM\cap AD=\left\{P\right\}\\ MN\cap SD=\left\{Q\right\}\end{array}$
Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm $\mathrm{\Delta }SMC.$
Gọi V là thể tích của khối chóp $S.ABCD.$
$V_1$ là thể tích khối chóp $PDQ.BCN$ và $V_2$ là thể tích khối chóp còn lại.
Khi đó: $V=V_1+V_2.$
Ta có: ${\displaystyle \frac{V_{M.PDQ}}{V_{M.BCN}}}={\displaystyle \frac{MP}{MB}}.{\displaystyle \frac{MD}{MC}}.{\displaystyle \frac{MQ}{MN}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
Lại có: $V_{M.BCN}=V_{M.PDQ}+V_1$ $\Rightarrow V_1={\displaystyle \frac{5}{6}}{V}_{M.BCN}$
Mà: $\{\begin{array}{l}{S}_{AMBC}=S_{ABDC}\\ d(N;\left(ABCD\right))={\displaystyle \frac{1}{2}}d(S;\left(ABCD\right))\end{array}\Rightarrow V_{M..BCN}=V_{N.MBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{V}{2}}$
$\Rightarrow V_1={\displaystyle \frac{5}{12}}V\Rightarrow V_2=V-V_1={\displaystyle \frac{7}{12}}V$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}={\displaystyle \frac{7}{5}}.$