Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối chóp đó theo a.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$
Phương pháp giải:
- Giả sử chóp $S.ABCD$, gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
- Sử dụng định lí Pytago, tính chiều cao $SO$.
- Tính thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAO$ : $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$.
- Giả sử chóp $S.ABCD$, gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
- Sử dụng định lí Pytago, tính chiều cao $SO$.
- Tính thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAO$ : $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$.
Đáp án D.