Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SA=3a.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa cạnh BC và cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là một tứ giác có diện tích $\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{2}}}{3}.$ Tính khoảng cách $h$ giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( P \right).$
A. $h=a.$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
C. $h=\dfrac{\sqrt{5}a}{5}.$
D. $h=\dfrac{3\sqrt{13}a}{13}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $\left( P \right)$ với $SA,SD\Rightarrow MN//AD;$ kẻ $AH\bot BM$ tại H
$AD\bot SA;AD\bot AB\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot MB$ và $MN\bot AH$
* $MN\bot MB\Rightarrow $ Thiết diện là hình thang vuông $BMNC$ có diện tích là $\dfrac{MB}{2}.\left( MN+BC \right)$
* $AH\bot MN,AH\bot BM,MN//AD\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $AD$ đến $\left( P \right)\Rightarrow AH=h$
Đặt $AM=x\left( 0<x<3a \right)\Rightarrow SM=3a-x.$ Ta có: $\dfrac{MN}{AD}=\dfrac{SM}{SA}$ (do $MN//AD).$
$\Rightarrow \dfrac{MN}{a}=\dfrac{3a-x}{3a}\Rightarrow MN=\dfrac{3a-x}{3},$ mà $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Diện tích thiết diện là $\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.\left( \dfrac{3a-x}{3}+a \right)=\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{2}}}{3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\left( 6a-x \right)=4\sqrt{5}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 36{{a}^{2}}-12ax+{{x}^{2}} \right)=80{{a}^{4}}$
$\Leftrightarrow 36{{a}^{4}}-12{{a}^{3}}x+{{a}^{2}}{{x}^{2}}+36{{a}^{2}}{{x}^{2}}-12a{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-80{{a}^{4}}=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-12{{x}^{3}}x+37{{x}^{2}}{{a}^{2}}-12a{{x}^{3}}-44{{a}^{4}}=0\Rightarrow x=2a$
$\Rightarrow MB=a\sqrt{5}\Rightarrow h=AH=\dfrac{AM.AB}{MB}=\dfrac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy khoảng cách $h$ giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
A. $h=a.$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
C. $h=\dfrac{\sqrt{5}a}{5}.$
D. $h=\dfrac{3\sqrt{13}a}{13}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $\left( P \right)$ với $SA,SD\Rightarrow MN//AD;$ kẻ $AH\bot BM$ tại H
$AD\bot SA;AD\bot AB\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot MB$ và $MN\bot AH$
* $MN\bot MB\Rightarrow $ Thiết diện là hình thang vuông $BMNC$ có diện tích là $\dfrac{MB}{2}.\left( MN+BC \right)$
* $AH\bot MN,AH\bot BM,MN//AD\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $AD$ đến $\left( P \right)\Rightarrow AH=h$
Đặt $AM=x\left( 0<x<3a \right)\Rightarrow SM=3a-x.$ Ta có: $\dfrac{MN}{AD}=\dfrac{SM}{SA}$ (do $MN//AD).$
$\Rightarrow \dfrac{MN}{a}=\dfrac{3a-x}{3a}\Rightarrow MN=\dfrac{3a-x}{3},$ mà $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Diện tích thiết diện là $\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.\left( \dfrac{3a-x}{3}+a \right)=\dfrac{2\sqrt{5}{{a}^{2}}}{3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\left( 6a-x \right)=4\sqrt{5}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 36{{a}^{2}}-12ax+{{x}^{2}} \right)=80{{a}^{4}}$
$\Leftrightarrow 36{{a}^{4}}-12{{a}^{3}}x+{{a}^{2}}{{x}^{2}}+36{{a}^{2}}{{x}^{2}}-12a{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-80{{a}^{4}}=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-12{{x}^{3}}x+37{{x}^{2}}{{a}^{2}}-12a{{x}^{3}}-44{{a}^{4}}=0\Rightarrow x=2a$
$\Rightarrow MB=a\sqrt{5}\Rightarrow h=AH=\dfrac{AM.AB}{MB}=\dfrac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy khoảng cách $h$ giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$
Đáp án B.