Cho hình chóp S. ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và $SA=3a.$ Mặt phẳng $\left( P...

Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $\left(P\right)$ với $SA,SD\Rightarrow MN//AD;$ kẻ $AH\mathrm{\perp }BM$ tại H
$AD\mathrm{\perp }SA;AD\mathrm{\perp }AB\Rightarrow AD\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow MN\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow MN\mathrm{\perp }MB$ và $MN\mathrm{\perp }AH$
* $MN\mathrm{\perp }MB\Rightarrow$ Thiết diện là hình thang vuông $BMNC$ có diện tích là ${\displaystyle \frac{MB}{2}}.(MN+BC)$
* $AH\mathrm{\perp }MN,AH\mathrm{\perp }BM,MN//AD\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $AD$ đến $\left(P\right)\Rightarrow AH=h$
Đặt $AM=x(0<x<3a)\Rightarrow SM=3a-x.$ Ta có: ${\displaystyle \frac{MN}{AD}}={\displaystyle \frac{SM}{SA}}$ (do $MN//AD).$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{MN}{a}}={\displaystyle \frac{3a-x}{3a}}\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{3a-x}{3}},$ mà $MB=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$
Diện tích thiết diện là ${\displaystyle \frac{2\sqrt{5}{a}^2}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}}.({\displaystyle \frac{3a-x}{3}}+a)={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}{a}^2}{3}}$
$\iff \sqrt{a^2+x^2}.(6a-x)=4\sqrt{5}{a}^2\iff (a^2+x^2)(36a^2-12ax+x^2)=80a^4$
$\iff 36a^4-12a^{3}x+a^2{x}^2+36a^2{x}^2-12a{x}^3+x^4-80a^4=0$
$\iff x^4-12x^{3}x+37x^2{a}^2-12a{x}^3-44a^4=0\Rightarrow x=2a$
$\Rightarrow MB=a\sqrt{5}\Rightarrow h=AH={\displaystyle \frac{AM.AB}{MB}}={\displaystyle \frac{2a.a}{a\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}a}{5}}$
Vậy khoảng cách $h$ giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ là ${\displaystyle \frac{2\sqrt{5}a}{5}}.$