Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right),SA=a.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $ABD,$ khi đó khoảng cách từ...

Phương pháp giải:
Gọi O là giao điểm của $AC$ và $BD.$
Khi đó: $AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AG}{AC}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}AO}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{GC}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{d(G;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Kẻ $AH\mathrm{\perp }SB$ $\Rightarrow AH=d(A;\left(SBC\right)).\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}AH.$
Giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của $AC$ và $BD.$
Khi đó: $AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AG}{AC}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}AO}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{GC}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{d(G;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Kẻ $AH\mathrm{\perp }SB$
Ta có: $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\mathrm{\perp }BC$
Lại có: $BC\mathrm{\perp }AB$
$\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }AH$
$\Rightarrow AH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d(A;\left(SBC\right))$
$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}AH.$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\mathrm{\Delta }SAB$ vuông tại A, có đường cao $AH$ ta có:
$AH={\displaystyle \frac{SA.AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}}={\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2+a^2}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$
$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}AH={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}.$