Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\bot \left( ABCD \right),SA=a.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $ABD,$ khi đó khoảng cách từ...

Phương pháp giải:
Gọi O là giao điểm của $AC$ và $BD.$
Khi đó: $AG=\dfrac{2}{3}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)
$\Rightarrow \dfrac{AG}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AO}{AC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{GC}{AC}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( G;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{2}{3}$
Kẻ $AH\bot SB$ $\Rightarrow AH=d\left( A;\left( SBC \right) \right).\Rightarrow d\left( G;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}AH.$
Giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của $AC$ và $BD.$
Khi đó: $AG=\dfrac{2}{3}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)
$\Rightarrow \dfrac{AG}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AO}{AC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{GC}{AC}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( G;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{2}{3}$
Kẻ $AH\bot SB$
Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$
Lại có: $BC\bot AB$
$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
$\Rightarrow d\left( G;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}AH.$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAB$ vuông tại A, có đường cao $AH$ ta có:
$AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow d\left( G;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$