Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a,AD=a.$ Tam giác $SAB$ là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Khi đó thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $2{{a}^{3}}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $2{{a}^{3}}$
Phương pháp giải:
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là: $V=\dfrac{1}{3}Sh.$
Giải chi tiết:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AB \\
BC\bot SH \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow BC\bot SB$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB,AB \right)=\angle SBA={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SHB$ là tam giác vuông cân tại H $\Rightarrow SH=HB=\dfrac{1}{2}AB=a.$
$\Rightarrow {{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.AB.AD=\dfrac{1}{3}.a.2a.a=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là: $V=\dfrac{1}{3}Sh.$
Giải chi tiết:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AB \\
BC\bot SH \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow BC\bot SB$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB,AB \right)=\angle SBA={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SHB$ là tam giác vuông cân tại H $\Rightarrow SH=HB=\dfrac{1}{2}AB=a.$
$\Rightarrow {{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.AB.AD=\dfrac{1}{3}.a.2a.a=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án B.