Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V.$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB.$ $P$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho...

Trong $\left( ABCD \right)$ gọi $O=AC\cap BD.$
Trong $\left( SBD \right)$ gọi $I=SO\cap MP.$
Trong $\left( SAC \right)$ gọi $N=SC\cap AI.$
Trong $\left( SBD \right),$ qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại H, qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại K.
Gọi $T$ là trung điểm $NC.$
Ta có: $\dfrac{IH}{IK}=\dfrac{MH}{PK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BO}{\dfrac{2}{3}BO}=\dfrac{3}{4}.$
$HK=SO-SH-OK=SO-\dfrac{1}{2}SO-\dfrac{1}{3}SO=\dfrac{1}{6}SO.$
$\dfrac{IH}{3}=\dfrac{IK}{4}=\dfrac{IH+IK}{7}=\dfrac{\dfrac{1}{6}SO}{7}=\dfrac{1}{42}SO.$
$\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{SH+IH}{SO}=\dfrac{\dfrac{1}{2}SO+\dfrac{1}{14}SO}{SO}=\dfrac{4}{7}.$
$\Rightarrow \dfrac{SN}{ST}=\dfrac{4}{7}.$
$\Rightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMNP}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{S.ACB}}}+\dfrac{{{V}_{S.ANP}}}{{{V}_{S.ACD}}} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}+\dfrac{SP}{SD}.\dfrac{SN}{SC} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} \right]=\dfrac{7}{30}.$
${{V}_{ABCD.AMNP}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMNP}}=V-\dfrac{7}{20}V=\dfrac{23}{30}V.$