Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V .$ Gọi $M$ là trung điểm của $S B .$ $P$ là điểm thuộc cạnh $S D$ sao cho...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình bình hành và có thể tích là

V .

Gọi

M

là trung điểm của

S B .

P

là điểm thuộc cạnh

S D

sao cho

S P = 2 D P .

Mặt phẳng

(A M P)

cắt cạnh

S C

tại

N .

Tính thể tích của khối đa diện

A B C D M N P

theo

V .

A.

V_{A B C D M N P} = \frac{7}{30} V .

B.

V_{A B C D M N P} = \frac{19}{30} V .

C.

V_{A B C D M N P} = \frac{2}{5} V .

D.

V_{A B C D M N P} = \frac{23}{30} V .

Trong

(A B C D)

gọi

O = A C \cap B D .

Trong

(S B D)

gọi

I = S O \cap M P .

Trong

(S A C)

gọi

N = S C \cap A I .

Trong

(S B D),

qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại H, qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SO tại K.
Gọi

T

là trung điểm

N C .

Ta có:

\frac{I H}{I K} = \frac{M H}{P K} = \frac{\frac{1}{2} B O}{\frac{2}{3} B O} = \frac{3}{4} .

H K = S O - S H - O K = S O - \frac{1}{2} S O - \frac{1}{3} S O = \frac{1}{6} S O .

\frac{I H}{3} = \frac{I K}{4} = \frac{I H + I K}{7} = \frac{\frac{1}{6} S O}{7} = \frac{1}{42} S O .

\frac{S I}{S O} = \frac{S H + I H}{S O} = \frac{\frac{1}{2} S O + \frac{1}{14} S O}{S O} = \frac{4}{7} .

\Rightarrow \frac{S N}{S T} = \frac{4}{7} .

\Rightarrow \frac{S N}{S C} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} .

\frac{V_{S . A M N P}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2} [\frac{V_{S . A M N}}{S_{S . A C B}} + \frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A C D}}] = \frac{1}{2} [\frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} + \frac{S P}{S D} . \frac{S N}{S C}] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} . \frac{2}{5} + \frac{2}{5} . \frac{2}{3}] = \frac{7}{30} .

V_{A B C D . A M N P} = V_{S . A B C D} - V_{S . A M N P} = V - \frac{7}{20} V = \frac{23}{30} V .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là điểm thuộc cạnh SD sao cho...