Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD.$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Gọi ${{V}_{1}};{{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.AHK$ và $S.ACD$ với $H,K$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD.$ Tính độ dài đường cao của khối chóp $S.ABCD$ và tỉ số $k=\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.$
A. $h=2a;k=\dfrac{1}{3}$
B. $h=a;k=\dfrac{1}{6}$
C. $h=2a;k=\dfrac{1}{8}$
D. $h=a;k=\dfrac{1}{4}$
A. $h=2a;k=\dfrac{1}{3}$
B. $h=a;k=\dfrac{1}{6}$
C. $h=2a;k=\dfrac{1}{8}$
D. $h=a;k=\dfrac{1}{4}$
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,N\in SB,P\in SC$ ta có: $\dfrac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}.$
Giải chi tiết:
Ta có: $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=\left\{ SA \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;AD \right)=\angle SAD={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SAD$ là tam giác vuông cân tại A $\Rightarrow h=SA=AD=a.$
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SH}{SC}.\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.$
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,N\in SB,P\in SC$ ta có: $\dfrac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}.$
Giải chi tiết:
Ta có: $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=\left\{ SA \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;AD \right)=\angle SAD={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SAD$ là tam giác vuông cân tại A $\Rightarrow h=SA=AD=a.$
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SH}{SC}.\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.$
Đáp án D.