Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a,$ cạnh bên $SA=a\sqrt{5},$ mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ bằng:
A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
C. $\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
C. $\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Phương pháp giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Ta có: $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $AD//BC$ $\Rightarrow AD//\left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Ta có: $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SB$
Vì $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot AB$
Lại có: $AB\bot BC\left( gt \right)\Rightarrow AB\bot \left( SBC \right)\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a$.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SHB$ vuông tại H, có đường cao $HK$ ta có:
$HK=\dfrac{SH.BH}{\sqrt{S{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}}=\dfrac{2a.a}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)=2HK=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Ta có: $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $AD//BC$ $\Rightarrow AD//\left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Ta có: $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SB$
Vì $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot AB$
Lại có: $AB\bot BC\left( gt \right)\Rightarrow AB\bot \left( SBC \right)\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a$.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SHB$ vuông tại H, có đường cao $HK$ ta có:
$HK=\dfrac{SH.BH}{\sqrt{S{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}}=\dfrac{2a.a}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)=2HK=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án C.