Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a,$ cạnh bên $SA=a\sqrt{5},$ mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$ và thuộc mặt phẳng...

Phương pháp giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$
Ta có: $AD//BC\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$
$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$
Ta có: ${\displaystyle \frac{HB}{AB}}={\displaystyle \frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$
Kẻ $HK\mathrm{\perp }SB$ $\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$
Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$
Ta có: $AD//BC$ $\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$
$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$
Ta có: ${\displaystyle \frac{HB}{AB}}={\displaystyle \frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$
Kẻ $HK\mathrm{\perp }SB$
Vì $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AB$
Lại có: $AB\mathrm{\perp }BC\left(gt\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow HK\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$
$\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{S{A}^2-{\left({\displaystyle \frac{AB}{2}}\right)}^2}$ $=\sqrt{{\left(a\sqrt{5}\right)}^2-a^2}=2a$.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\mathrm{\Delta }SHB$ vuông tại H, có đường cao $HK$ ta có:
$HK={\displaystyle \frac{SH.BH}{\sqrt{S{H}^2+B{H}^2}}}={\displaystyle \frac{2a.a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}}}={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{5}}{5}}$
$\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))=2HK={\displaystyle \frac{4a\sqrt{5}}{5}}.$