Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,\widehat{ABC}={{120}^{{}^\circ }},\Delta SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng.
A. $\dfrac{a \sqrt{41}}{6}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{39}}{6}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{37}}{6}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{35}}{6}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Tam giác $ABD$ đều nên $DA=DB=AB$
Mà $AB=BC=DC$
Nên $DA=DB=DC$
Suy ra $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Dựng trục $Dx\bot \left( ABCD \right)$
Gọi G là tâm của tam giác $SAB$. Dựng trục $Gy$
Gọi $I$ là giao điểm $Dx$ và $Gy$
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Tam giác $ABD$ đều nên $DH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $SAB$ đều nên $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SG=\dfrac{2}{3}SH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
$R=IS=\sqrt{I{{G}^{2}}+S{{G}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
A. $\dfrac{a \sqrt{41}}{6}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{39}}{6}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{37}}{6}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{35}}{6}$.
Tam giác $ABD$ đều nên $DA=DB=AB$
Mà $AB=BC=DC$
Nên $DA=DB=DC$
Suy ra $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Dựng trục $Dx\bot \left( ABCD \right)$
Gọi G là tâm của tam giác $SAB$. Dựng trục $Gy$
Gọi $I$ là giao điểm $Dx$ và $Gy$
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Tam giác $ABD$ đều nên $DH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $SAB$ đều nên $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SG=\dfrac{2}{3}SH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
$R=IS=\sqrt{I{{G}^{2}}+S{{G}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
Đáp án B.