Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D,AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2},$ $SA\bot \left( ABCD \right).$ Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right).$
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ ta thấy ngay $AMCD$ là hình vuông. $MBCD$ là hình bình hành. Suy ra $BC//DM$ mà $DM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)$ để chứng minh $DC\bot \left( SAD \right).$ Trong tam giác vuông $SAD$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AR$ như hình ta có $AR\bot \left( SDC \right)$ và $AR=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a.$ Trong tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AQ$ như hình ta có $AQ\bot \left( SBC \right)$ và $AQ=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=a.$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ là góc giữa $AR$ và $AQ$ chính là góc $\widehat{RAQ}=\alpha .$ Tam giác $ARQ$ vuông tại $R$ có $\cos \alpha =\dfrac{AR}{AQ}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ ta thấy ngay $AMCD$ là hình vuông. $MBCD$ là hình bình hành. Suy ra $BC//DM$ mà $DM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)$ để chứng minh $DC\bot \left( SAD \right).$ Trong tam giác vuông $SAD$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AR$ như hình ta có $AR\bot \left( SDC \right)$ và $AR=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a.$ Trong tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AQ$ như hình ta có $AQ\bot \left( SBC \right)$ và $AQ=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=a.$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ là góc giữa $AR$ và $AQ$ chính là góc $\widehat{RAQ}=\alpha .$ Tam giác $ARQ$ vuông tại $R$ có $\cos \alpha =\dfrac{AR}{AQ}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án D.