Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D,AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2},$ $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right).$ Tính cosin của...

Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ ta thấy ngay $AMCD$ là hình vuông. $MBCD$ là hình bình hành. Suy ra $BC//DM$ mà $DM\mathrm{\perp }\left(SAC\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAC\right)$ để chứng minh $DC\mathrm{\perp }\left(SAD\right).$ Trong tam giác vuông $SAD$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AR$ như hình ta có $AR\mathrm{\perp }\left(SDC\right)$ và $AR={\displaystyle \frac{SA.AD}{\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}a.$ Trong tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$ vẽ đường cao $AQ$ như hình ta có $AQ\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$ và $AQ={\displaystyle \frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}}=a.$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ là góc giữa $AR$ và $AQ$ chính là góc $\widehat{RAQ}=\alpha .$ Tam giác $ARQ$ vuông tại $R$ có $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AR}{AQ}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}.$