Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình chữ nhật cạnh $A B = 1, A D = 2. S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A = 2.$ Gọi...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có

A B C D

là hình chữ nhật cạnh

A B = 1, A D = 2. S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

và

S A = 2.

Gọi

M, N, P

lần lượt là chân đường cao hạ từ

A

lên các cạnh

S B, S D, D B .

Thể tích khối chóp

A M N P

bằng
A.

\frac{8}{75} .

B.

\frac{4}{45} .

C.

\frac{9}{16} .

D.

\frac{4}{25} .

Ta có:

V_{S . A B D} = \frac{1}{6} A S . A B . A D = \frac{1}{6} \times 2 \times 2 \times 1 = \frac{2}{3} .

+)

\frac{B P}{B D} = \frac{A B^{2}}{B D^{2}} = \frac{A B^{2}}{A B^{2} + A D^{2}} = \frac{1}{5} \Rightarrow B P = \frac{1}{5} B D,

suy ra:

S_{Δ A B P} = \frac{1}{5} S_{Δ A B D} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} . A B . A D = \frac{1}{5}; S_{Δ A P D} = \frac{4}{5} S_{Δ A B D} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} . A B . A D = \frac{4}{5} .

Tam giác

S A D

vuông cân tại

A

nên

\frac{S N}{S D} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (N; (A B C D)) = \frac{1}{2} S A = 1.

+)

\frac{B M}{B S} = \frac{B A^{2}}{B S^{2}} = \frac{B A^{2}}{S A^{2} + A B^{2}} = \frac{1}{5} \Rightarrow d (M; (A B C D)) = \frac{1}{5} S A = \frac{2}{5} .

Suy ra:

V_{M . A B P} = \frac{1}{3} d (M; (A B C D)) . S_{Δ A B P} = \frac{1}{3} . \frac{2}{5} . \frac{1}{5} = \frac{2}{75} .

V_{N . A P D} = \frac{1}{3} d (N; (A B C D)) . S_{Δ A D P} = \frac{1}{3} .1 . \frac{4}{5} = \frac{4}{15} .

V_{S . A M N} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} . V_{S . A B D} = \frac{4}{5} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{4}{15} .

Vậy

V_{A . M N P} = V_{S . A B D} - V_{M . A B P} - V_{N . A P D} - V_{S . A M N} = \frac{2}{3} - \frac{2}{75} - \frac{4}{15} - \frac{4}{15} = \frac{8}{75} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật cạnh AB=1,AD=2. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2. Gọi...