Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),SA=a,AB=a$, $AC=2a,$ $\widehat{BAC}={{60}^{0}}.$ Tính diện tích hình...

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right).$
$\Rightarrow \Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
Gọi $E$ là trung điểm $SA.$
Trong $\left( SA,\Delta \right),$ gọi $O$ là giao điểm của $\Delta $ với đường trung trực cạnh $SA.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OA=OB=OC\left( O\in \Delta \right) \\
& OS=OA\left( O\text{ thuo }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ c }\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ ng trung tr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ c ca }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh SA} \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow OS=OA=OB=OC$
$\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC,$ bán kinh $R=OA.$
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos {{60}^{0}}=3{{a}^{2}}.$
$\Rightarrow BC=a\sqrt{3}.$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{AB.AC.BC}{4{{R}_{\left( ABC \right)}}}\Leftrightarrow {{R}_{\left( ABC \right)}}=\dfrac{AB.AC.BC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{a.2a.a\sqrt{3}}{4.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=a.$
$\Rightarrow AI=a.$
Tứ giá $AEOI$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AO=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$