Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=3,$ tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2\sqrt{2}.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên...

Gọi $I$ là giao điểm của $PQ$ và $AB$
${{V}_{MNPQ}}={{V}_{I.MPN}}-{{V}_{I.QMN}}={{V}_{P.MNI}}-{{V}_{Q.MNI}}.$
Tính diện tích $\Delta MNI$
$MN=1$
Gọi $E$ là trung điểm của $SQ\Rightarrow PE//AB$ và $PE=\dfrac{1}{3}AB$
Ta có $\Delta PEQ=\Delta IBQ\left( g.c.g \right)\Rightarrow PE=IB$
$\Rightarrow IB=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{2}{3}.$
$I{{N}^{2}}=B{{N}^{2}}+I{{B}^{2}}=1+\dfrac{4}{9}=\dfrac{13}{9}\Rightarrow IN=\dfrac{\sqrt{13}}{3}.$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $IAM$ có:
$IM=I{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}-2IA.AM.\cos {{45}^{0}}$
$={{\left( \dfrac{8}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}-2.\dfrac{8}{3}.\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{34}{9}\Rightarrow IM=\dfrac{\sqrt{34}}{9}.$
$\cos \widehat{MNI}=\dfrac{M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}-M{{I}^{2}}}{2.MN.IN}=\dfrac{1+\dfrac{13}{9}-\dfrac{34}{9}}{2.1.\dfrac{\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{-2\sqrt{13}}{13}.$
$\sin \widehat{MNI}=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{MNI}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}.$
${{S}_{MNI}}=\dfrac{1}{2}.MN.NI.\sin \widehat{MNI}=\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{\sqrt{13}}{3}.\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{1}{2}.$
${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{3}.d\left( P;\left( MIN \right) \right).{{S}_{MIN}}-\dfrac{1}{3}.d\left( Q;\left( MIN \right) \right).{{S}_{MIN}}$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}d\left( S;\left( MIN \right) \right).{{S}_{MIN}}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.d\left( S;\left( MIN \right) \right).{{S}_{MIN}}$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( MIN \right) \right).{{S}_{MIN}}=\dfrac{1}{9}d\left( S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{MIN}}$
Vì $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Mà tam giác $ABC$ vuông tại B nên tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ chính là điểm $M$.
Vậy ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{9}.\sqrt{7}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{18}.$