Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC), SA=2a.$ Tam giác $ABC$ vuông tại B $ AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi $ tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC).$
A. $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\cos \varphi =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\cos \varphi =\dfrac{1}{2}$.
D. $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AB \\
& BC\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( AB,SB \right)}=\widehat{SBA}=\varphi .$
$SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Vậy $\cos \varphi =\dfrac{AB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
A. $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\cos \varphi =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\cos \varphi =\dfrac{1}{2}$.
D. $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AB \\
& BC\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( AB,SB \right)}=\widehat{SBA}=\varphi .$
$SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Vậy $\cos \varphi =\dfrac{AB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án A.