Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A. ${{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
A. ${{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
Phương pháp giải:
- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, từ đó xác định góc giữa $SB$ và $\left( ABC \right)$.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài cạnh $SA$.
- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì $SA\bot \left( ABC \right)\left( gt \right)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left( ABC \right)$, do đó $\angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA={{60}^{0}}$.
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA=AB.\tan \angle SBA=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh a nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, từ đó xác định góc giữa $SB$ và $\left( ABC \right)$.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài cạnh $SA$.
- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì $SA\bot \left( ABC \right)\left( gt \right)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left( ABC \right)$, do đó $\angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA={{60}^{0}}$.
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA=AB.\tan \angle SBA=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh a nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án C.