Cho hình chóp đều $S . A B C$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Gọi $O$ là tâm của đáy $A B C$ , $d_{1}$ là khoảng cách từ A...

The Collectors · 28/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp đều

S . A B C

có độ dài cạnh đáy bằng

a

, cạnh bên bằng

a \sqrt{3}

. Gọi

O

là tâm của đáy

A B C

,

d_{1}

là khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(S B C)

và

d_{2}

là khoảng cách từ O đến mặt phẳng

(S B C)

. Tính

d = d_{1} + d_{2}

.
A.

d = \frac{8 a \sqrt{22}}{33}

B.

d = \frac{2 a \sqrt{22}}{33}

C.

d = \frac{8 a \sqrt{22}}{11}

D.

d = \frac{2 a \sqrt{22}}{11}

Phương pháp giải:
- Gọi M là trung điểm của BC, xác định

d (A; (S B C))

.
- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính

d (A; (S B C))

.
- Sử dụng công thức:

A O \cap (S B C) = {M} \Rightarrow \frac{d (O; (S B C))}{d (A; (S B C))} = \frac{O M}{A M}

, so sánh

d (O; (S B C))

và

d (A; (S B C))

.
Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có:

{\begin{cases} B C ⊥ A M \\ B C ⊥ S M \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A M)

.
Trong

(S A M)

kẻ

A H ⊥ S M (H \in S M)

ta có:

{\begin{cases} A H ⊥ S M \\ A H ⊥ B C (A H \subset (S A M)) \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C)

.

\Rightarrow d_{1} = d (A; (S B C)) = A H

Vì

Δ A B C

đều cạnh

a

nên

A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông

S A O

có:

S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{a^{3}}{3}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}

.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông

S B M

có:

S M = \sqrt{S B^{2} - B M^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{11}}{2}

.
Ta có:

S_{Δ S A M} = \frac{1}{2} S O . A M = \frac{1}{2} A H . S M

\Rightarrow A H = \frac{S O . A M}{S M} = \frac{\frac{2 a \sqrt{6}}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{11}}{2}} = \frac{2 a \sqrt{22}}{11}

.

\Rightarrow d_{1} = \frac{2 a \sqrt{22}}{11}

.
Ta có:

A O \cap (S B C) = {M} \Rightarrow \frac{d (O; (S B C))}{d (A; (S B C))} = \frac{O M}{A M} = \frac{1}{3}

\Rightarrow d (O; (S B C)) = \frac{1}{3} d (A; (S B C)) = \frac{2 a \sqrt{22}}{33}

.

\Rightarrow d_{2} = \frac{2 a \sqrt{22}}{33}

.
Vậy

d = d_{1} + d_{2} = \frac{2 a \sqrt{22}}{11} + \frac{2 a \sqrt{22}}{33} = \frac{8 a \sqrt{22}}{33}

.

Đáp án A.

Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A...