Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$, ${{d}_{1}}$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và ${{d}_{2}}$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$. Tính $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}$.
A. $d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$
C. $d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{11}$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$
A. $d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$
C. $d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{11}$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$
Phương pháp giải:
- Gọi M là trung điểm của BC, xác định $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
- Sử dụng công thức: $AO\cap \left( SBC \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OM}{AM}$, so sánh $d\left( O;\left( SBC \right) \right)$ và $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AM \\
BC\bot SM \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot SM \\
AH\bot BC\left( AH\subset \left( SAM \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
$\Rightarrow {{d}_{1}}=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAO$ có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{3}}}{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SBM$ có: $SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAM}}=\dfrac{1}{2}SO.AM=\dfrac{1}{2}AH.SM$ $\Rightarrow AH=\dfrac{SO.AM}{SM}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{11}}{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$.
$\Rightarrow {{d}_{1}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$.
Ta có:
$AO\cap \left( SBC \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$.
$\Rightarrow {{d}_{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$.
Vậy $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}+\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}$.
- Gọi M là trung điểm của BC, xác định $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
- Sử dụng công thức: $AO\cap \left( SBC \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OM}{AM}$, so sánh $d\left( O;\left( SBC \right) \right)$ và $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AM \\
BC\bot SM \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot SM \\
AH\bot BC\left( AH\subset \left( SAM \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
$\Rightarrow {{d}_{1}}=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAO$ có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{3}}}{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SBM$ có: $SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAM}}=\dfrac{1}{2}SO.AM=\dfrac{1}{2}AH.SM$ $\Rightarrow AH=\dfrac{SO.AM}{SM}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{11}}{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$.
$\Rightarrow {{d}_{1}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}$.
Ta có:
$AO\cap \left( SBC \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$.
$\Rightarrow {{d}_{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}$.
Vậy $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\dfrac{2a\sqrt{22}}{11}+\dfrac{2a\sqrt{22}}{33}=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}$.
Đáp án A.