Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}.$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( SBC \right)$ biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng...

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AI=\dfrac{3a}{2}$
$OI=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{1}{3}\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a}{2}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABC=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}.SO\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.SO\Leftrightarrow SO=\sqrt{2}a$
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{3a}{2}$
${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}.SI.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là $h$
Thể tích của khối chóp $S.ABC=\dfrac{1}{2}.{{S}_{\Delta SBC}}.h\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.h\Leftrightarrow h=a\sqrt{2}.$