Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m$ có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Số nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m$ là số giao điểm của đồ thị $y=\left| {{x}^{3}}-3x \right|$ và đường thẳng $y={{m}^{2}}+m.$
Cách vẽ đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3x \right|$ từ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ là: Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ nằm phía dưới trục hoành rồi xóa bỏ phần đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ nằm phía dưới trục hoành:

Phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m$ có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+m>0 \\
& {{m}^{2}}+m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& -2<m<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<m<1 \\
& -2<m<-1 \\
\end{aligned} \right..$