Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( 1;m \right).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của...

Đường thẳng đi qua điểm hệ số góc có phương trình là
Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình
có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta có phương trình
Qua điểm kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị phương trình có ba nghiệm phân biệt hai đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.