Cho hàm số $y=x^3+3x^2+1$ có đồ thị $\left(C\right)$ và điểm $A(1;m).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của...

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;m)$ hệ số góc $k$ có phương trình là $y=k(x-1)+m.$
Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình
$\{\begin{array}{rl}& x^3+3x^2+1=k(x-1)+m\left(1\right)\\ & 3x^2+6x=k\left(2\right)\end{array}$ có nghiệm $x.$
Thay (2) vào (1) ta có phương trình $x^3+3x^2+1=(3x^2+6x)(x-1)+m\iff 2x^3-6x-1=-m\left(3\right).$
Qua điểm $A(1;m)$ kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị $\left(C\right)\iff$ phương trình $\left(3\right)$ có ba nghiệm phân biệt $\iff$ hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=2x^3-6x-1$ và $y=-m$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-6x-1$ như sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ suy ra $-5<-m<3\iff -3<m<5\stackrel{m\in Z}{\to }m\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}.$ Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.