Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( 1;m \right).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị $\left( C \right).$ Số phần tử của $S$ là
A. 9.
B. 5.
C. 7.
D. 3.
A. 9.
B. 5.
C. 7.
D. 3.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;m \right)$ hệ số góc $k$ có phương trình là $y=k\left( x-1 \right)+m.$
Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=k\left( x-1 \right)+m\text{ }\left( 1 \right) \\
& 3{{x}^{2}}+6x=k\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm $ x.$
Thay (2) vào (1) ta có phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right)\left( x-1 \right)+m\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-6x-1=-m\left( 3 \right).$
Qua điểm $A\left( 1;m \right)$ kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 3 \right)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x-1$ và $y=-m$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2{{x}^{3}}-6x-1$ như sau:
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ suy ra $-5<-m<3\Leftrightarrow -3<m<5\xrightarrow{m\in Z}m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$ Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=k\left( x-1 \right)+m\text{ }\left( 1 \right) \\
& 3{{x}^{2}}+6x=k\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm $ x.$
Thay (2) vào (1) ta có phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right)\left( x-1 \right)+m\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-6x-1=-m\left( 3 \right).$
Qua điểm $A\left( 1;m \right)$ kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 3 \right)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x-1$ và $y=-m$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2{{x}^{3}}-6x-1$ như sau:
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ suy ra $-5<-m<3\Leftrightarrow -3<m<5\xrightarrow{m\in Z}m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$ Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.