Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right)$ và $y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $3$ điểm phân biệt.
A. $2020$.
B. $4040$.
C. $2021$.
D. $4041$.
A. $2020$.
B. $4040$.
C. $2021$.
D. $4041$.
Nhận thấy $-1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3}$ không là nghiệm của phương trình:
$-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+2\left| x \right| \right)\left( 1 \right).$
Nên $\left( 1 \right)\Rightarrow m+2\left| x \right|=\dfrac{-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}=-2x+\dfrac{11{{x}^{2}}+12x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}.$
$\Leftrightarrow m=-2\left| x \right|-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-2\left| x \right|-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}.$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{-2x}{\left| x \right|}-2-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình $m=f\left( x \right)$ có 3 nghiệm phân biệt trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}$ khi và chỉ khi $m\ge 0.$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2020;2020 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;...;2020 \right\}. $ Vậy có 2021 giá trị $ m$ cần tìm.
$-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+2\left| x \right| \right)\left( 1 \right).$
Nên $\left( 1 \right)\Rightarrow m+2\left| x \right|=\dfrac{-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}=-2x+\dfrac{11{{x}^{2}}+12x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}.$
$\Leftrightarrow m=-2\left| x \right|-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-2\left| x \right|-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}.$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{-2x}{\left| x \right|}-2-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình $m=f\left( x \right)$ có 3 nghiệm phân biệt trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{3} \right\}$ khi và chỉ khi $m\ge 0.$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2020;2020 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;...;2020 \right\}. $ Vậy có 2021 giá trị $ m$ cần tìm.
Đáp án C.