Cho hàm số $y=(x+1)(2x+1)(3x+1)(m+\left|2x\right|)$ và...

Nhận thấy $-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ không là nghiệm của phương trình:
$-12x^4-22x^3-x^2+10x+3=(x+1)(2x+1)(3x+1)(m+2\left|x\right|)\left(1\right).$
Nên $\left(1\right)\Rightarrow m+2\left|x\right|={\displaystyle \frac{-12x^4-22x^3-x^2+10x+3}{(x+1)(2x+1)(3x+1)}}=-2x+{\displaystyle \frac{11x^2+12x+3}{(x+1)(2x+1)(3x+1)}}.$
$\iff m=-2\left|x\right|-2x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{3x+1}}.$
Xét hàm số $f\left(x\right)=-2\left|x\right|-2x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{3x+1}}$ trên $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}.$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x}{\left|x\right|}}-2-{\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^2}}-{\displaystyle \frac{2}{{(2x+1)}^2}}-{\displaystyle \frac{3}{{(3x+1)}^2}}<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình $m=f\left(x\right)$ có 3 nghiệm phân biệt trên $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}$ khi và chỉ khi $m\ge 0.$
Mặt khác: $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-2020;2020]\end{array}\Rightarrow m\in \{0;1;...;2020\}.$ Vậy có 2021 giá trị $m$ cần tìm.