Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng $(- \infty; 0)$ và...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên khoảng

(- \infty; 0)

và

(0; + \infty)

sao cho

f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = \frac{f (x_{1})}{f (x_{2})}

với mọi

x_{1}, x_{2} \in R ∖ {0}, f (x_{2}) \neq 0

. Biết

f^{'} (1) = 2

, khi đó

f^{'} (x)

bằng
A.

2 f (x)

.
B.

\frac{f (x)}{x}

.
C.

2 x f (x)

.
D.

\frac{2 f (x)}{x}

.

Theo giả thuyết, suy ra

f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = \frac{f (x_{1})}{f (x_{2})} \Rightarrow f (1) = \frac{f (1)}{f (1)} = 1

Xét với mỗi

x \in R ∖ {0}

, suy ra rằng

f (\frac{1}{x}) = \frac{f (1)}{f (x)} = \frac{1}{f (x)}

.
Điều này chứng tỏ rằng

\forall x \neq 0

thì

f (x) \neq 0

. Khi đó, theo định nghĩa của đạo hàm của hàm số

y = f (x)

, với mỗi

x \neq 0

suy ra

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = f (x) \times lim_{h \to 0} {\frac{\frac{f (x + h)}{f (x)} - 1}{h}}

\begin{aligned} = f (x) \times lim_{h \to 0} \frac{f (\frac{x + h}{x}) - 1}{h} \\ = \frac{f (x)}{x} \times lim_{h \to 0} \frac{f (1 + \frac{h}{x}) - f (1)}{\frac{h}{x}} \\ = \frac{f (x)}{x} \times f^{'} (1) = \frac{2 f (x)}{x} \end{aligned}

Vậy

f^{'} (x) = \frac{2 f (x)}{x}, \forall x \in R ∖ {0} .

Có thể chọn

f (x) = x^{2}

Chọn đáp án D

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (−∞;0) và...