Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$ sao cho $f\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)=\dfrac{f({{x}_{1}})}{f({{x}_{2}})}$ với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R\backslash \{0\},f({{x}_{2}})\ne 0$. Biết ${f}'(1)=2$, khi đó ${f}'(x)$ bằng
A. $2f(x)$.
B. $\dfrac{f(x)}{x}$.
C. $2xf(x)$.
D. $\dfrac{2f(x)}{x}$.
A. $2f(x)$.
B. $\dfrac{f(x)}{x}$.
C. $2xf(x)$.
D. $\dfrac{2f(x)}{x}$.
Theo giả thuyết, suy ra
$f\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)=\dfrac{f({{x}_{1}})}{f({{x}_{2}})}\Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{f(1)}{f(1)}=1$
Xét với mỗi $x\in R\backslash \{0\}$, suy ra rằng $f\left( \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{f(1)}{f(x)}=\dfrac{1}{f(x)}$.
Điều này chứng tỏ rằng $\forall x\ne 0$ thì $f(x)\ne 0$. Khi đó, theo định nghĩa của đạo hàm của hàm số $y=f(x)$, với mỗi $x\ne 0$ suy ra
$f'(x)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \left\{ \dfrac{\dfrac{f(x+h)}{f(x)}-1}{h} \right\}$
$\begin{aligned}
& =f(x)\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( \dfrac{x+h}{x} \right)-1}{h} \\
& =\dfrac{f(x)}{x}\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)-f(1)}{\dfrac{h}{x}} \\
& =\dfrac{f(x)}{x}\times {f}'(1)=\dfrac{2f(x)}{x} \\
\end{aligned}$
Vậy ${f}'(x)=\dfrac{2f(x)}{x},\forall x\in R\backslash \{0\}.$
Có thể chọn $f(x)={{x}^{2}}$
Chọn đáp án D
$f\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)=\dfrac{f({{x}_{1}})}{f({{x}_{2}})}\Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{f(1)}{f(1)}=1$
Xét với mỗi $x\in R\backslash \{0\}$, suy ra rằng $f\left( \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{f(1)}{f(x)}=\dfrac{1}{f(x)}$.
Điều này chứng tỏ rằng $\forall x\ne 0$ thì $f(x)\ne 0$. Khi đó, theo định nghĩa của đạo hàm của hàm số $y=f(x)$, với mỗi $x\ne 0$ suy ra
$f'(x)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \left\{ \dfrac{\dfrac{f(x+h)}{f(x)}-1}{h} \right\}$
$\begin{aligned}
& =f(x)\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( \dfrac{x+h}{x} \right)-1}{h} \\
& =\dfrac{f(x)}{x}\times \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)-f(1)}{\dfrac{h}{x}} \\
& =\dfrac{f(x)}{x}\times {f}'(1)=\dfrac{2f(x)}{x} \\
\end{aligned}$
Vậy ${f}'(x)=\dfrac{2f(x)}{x},\forall x\in R\backslash \{0\}.$
Có thể chọn $f(x)={{x}^{2}}$
Chọn đáp án D
Đáp án D.